Gödelov dokaz

(Čast mi je, i osobito zadovoljstvo, što se Luka Mikec odazvao pozivu da gostuje na Uvodu u filosofiju ogledom o Gödelovom dokazu, a koji, što je ne samo najavljeno nego i traženo od brojnog čitateljstva , okončava mali niz o ”rascjepima” u najegzaktnijima od znanosti.)

Bilo koja dovoljno snažna aritmetika "jede" samu sebe

Od (gotovo drevnog) pojavka ideje aksiomatskih („formalnih“) sustava – sustava dokazivanja koji kreću od jednostavnih i očitih tvrdnji te unaprijed definiranim pravilima izvode složenije tvrdnje – postojala je prešutna pretpostavka među matematičarima koja glasi „dokazivo je sinonim za istinito“. Ako možemo unutar nekog opće-prihvaćenog sustava dokazati primjerice Pitagorin poučak (a možemo), onda je on istinit. Taj poučak je istinit, čini se, upravo stoga što je dokaziv. Pitanje je – vrijedi li doista identitet istinitosti i dokazivosti?

Osim matematičke važnosti tog problema, odgovor na to pitanje tijesno je vezan uz naše (filozofijsko) poimanje matematike. Primjerice, ako je ono što zovemo matematičkim istinama odraz platoničke matematičke realnosti (Kurt Gödel, koji je prvi razjasnio neke dvojbe oko spomenutog identiteta,  je inače i sam bio zagriženi platonist) koja sadrži vrlo veliku ili beskonačnu količinu međusobno neovisnih istina, tj. istina koje su međusobno nepovezane bilo kakvom logikom koja bi omogućavala dokazivanje s jedne istine na drugu, onda identitet ne mora vrijediti (osim možda na „kratke staze“). No, mnogi matematiku promatraju upravo kao sinonim za neku vrstu znakovne slagalice, gdje su osnovni znakovi matematičke formule, te se slaganjem (koje je analogija dokazivanju) dolazi do novih istina. Aksiomatizirana matematika prema tom slagalačkom poimanju nije samo lijepa i uredna, već je to i prava matematika. Pokazat će se da je slagalačka slika naravi matematike pogrešna ili barem vjerojatno pogrešna.

Ako identitet dokazivog i istinitog vrijedi, kaže se da je sustav potpun. U potpunom sustavu vrijedi da se sve što se (unutar njega) uopće može izraziti, u tom istom sustavu mora moći dokazati ili kao istinito ili kao neistinito. Još se kaže: svaki je iskaz u sustavu odluč(lj)iv.

Najobuhvatniji dosad postavljeni  formalni sustavi [aritmetike] jesu sustav u Principia Mathematica, s jedne strane, i Zermelo-Fraenkelov sustav aksioma za teoriju skupova … Oba ta sustava su takva da su u njima formalizirane sve metode dokazivanja koje se danas upotrebljavaju u matematici, tj. one su tamo svedene na svega nekoliko aksioma i pravila zaključivanja. Stoga se može naslućivati da su ti aksiomi i pravila zaključivanja i dovoljni  za to da bi se sva matematička pitanja koja se uopće daju formalno izraziti u dotičnim sustavima bila također i odlučiva. U onom što slijedi pokazat ću da to nije slučaj. [Gödel, str. 89.]

Osim što je šokirao javnost (barem onu logičko-filozofsku) zaključcima koji su uslijedili, Gödelov dokaz osobit je po svojoj formi odnosno metodi kojom se služio.

Jedna od ključnih ideja iza Gödelova dokaza je razlikovanje matematike i metamatematike. Općenito, tvrdnja o (ne)identitetu dokazivosti i istinitosti metamatematičke je prirode. Ona ne govori (barem ne neposredno) o odnosima između brojeva ili drugih matematičkih objekata. Ona govori nešto o odnosima između samih matematičkih odnosa; ili jednostavnije, o matematici.

… Moramo primijetiti da takvi izrazi sa značenjem o matematičkom sustavu bez značenja (odnosno formaliziranom) očito ne pripadaju tome sustavu. Oni pripadaju onome što je Hilbert nazvao „metamatematikom“. (…)

 Razmotrimo izraz

                2 + 3 = 5

Taj izraz pripada matematici (aritmetici) i u potpunosti je izgrađen iz elementarnih aritmetičkih znakova. S druge strane, iskaz

                ’2 + 3 = 5′ je aritmetička formula.

tvrdi nešto o prikazanom izrazu. Taj iskaz ne izražava neku aritmetičku činjenicu i ne pripada formaliziranom jeziku aritmetike. (…)

Napokon, sljedeći iskaz također pripada metamatematici:

                Aritmetika je konzistentna.

[Nagel, str. 24.]

Gödel je metamatematiku zrcalio u matematici. Naime, pronašao je način da svaku metamatematičku tvrdnju prikaže kao neku matematičku tvrdnju, dakle kao neki odnos između brojeva, gdje su brojevi igrali ulogu matematičkih tvrdnji, a odnosi između brojeva odnose između matematičkih tvrdnji (ili, odnose između odnosa između brojeva).

Gödel je je najprije pokazao da je svakom elementarnom znaku, svakoj formuli (nizu znakova) i svakom dokazu (konačnom nizu formula) moguće pridružiti jedinstveni broj. Taj broj, koji služi kao razlikovna oznaka, naziva se „Gödelov broj“ znaka, formule ili dokaza. [Nagel, str. 54.]

Postupak pridruživanja Gödelovih brojeva formula često se naziva „aritmetizacijom“ aritmetike. Korisno je, zbog bolje predodžbe o sadržaju Gödelova dokaza, dati jedan primjer takvog pridruživanja (inače je više mogućih pridruživanja). Prije toga, što se sve podrazumijeva kao elementarni znak:

1. Bilo koji skup znakova koji je (uz dodatak odgovarajućih znakova za varijable) sposoban izraziti bilo koju aritmetičku istinu – npr. „4 je veći od 3“ i „ne postoji najveći prost broj“. Jedan takav moguć skup osnovnih znakova je {0, s, ¬, ∨, ∀, (, )} (znakovi varijable će biti naknadno dodani). Brojevi se kodiraju kombinacijom znakova „s“ i „0“: „0“ za 0, „s0“ za 1, „ss0“ za 2 itd.
   Sljedeća 3 znaka u danom skupu znakova su logički operatori koji govore o istinitosti jedne tvrdnje, ili odnosu istinitosti više tvrdnji (npr. „¬X“ je u značenju „X je neistinito“).
   Zagrade imaju uobičajenu ulogu određivanja slijeda operacija.
2. Uz te znakove, koriste se još i znakovi za varijable. x₁, y₁, z₁… za varijable prvog tipa (varijable koje se javljaju u uobičajenim aritmetičkim jednadžbama i predstavljaju brojeve). Zatim x₂, y₂, z₂… za varijable drugog tipa (tj. „rečenične“ varijable, npr. x₂ može stajati za cijelu formulu „s0 + s0 = ss0“). Na isti način se mogu imenovati i varijable viših tipova (koje će sadržavati odnose između odnosa između brojeva itd.)
3. Neki drugi često korišteni znakovi (=, +, * itd.) se mogu, a i ne moraju, ubaciti u taj skup, jer su svi ionako izvodljivi iz skupa koji je već dan. Znak jednakosti koji se koristi za odnos jednakosti između brojeva se može definirati na ovaj način: (x₁ = y₁) =_def ∀x₂(¬(¬x₂ (x₁) ∨ ¬x₂ (y₁)) ∨ ¬(x₂ (y₁) ∨ x₂ (x₁)))). Ova nečitljiva formula ustvari kaže: ako svako brojevno svojstvo koje vrijedi o x₁ također vrijedi i o y₁, i obratno, onda su x₁ i y₁ jedno te isto.

Gödel je, dakle, svim tim znakovima pridružio određen broj („Gödelov broj“). Prvom dijelu elementarnih znakova su redom pridruženi brojevi 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Drugom dijelu (varijablama) su pridruženi brojevi pⁿ, gdje je p prost broj veći od 13, a n tip varijable (n = 1 za brojeve, n = 2 za formule itd.). Vrlo je lako za svaki takav (Gödelov) broj otkriti koju varijablu predstavlja. Npr. 225 = 15². Radi se dakle o varijabli (jer se 225 može zapisati u obliku potencije kojoj je baza prost broj) drugog tipa (jer je eksponent broj 2); možemo ju zapisati kao y₂. Iako je abeceda u stvarnosti ograničena, pretpostavlja se da je beskonačna, tako da primjerice i prost broj 6461333093 predstavlja neku varijablu prvog tipa, iako ne postoji njen abecedni prijevod.

Time je moguće „aritmetizirati“ svaku aritmetičku formulu – pretvoriti ju u skup brojeva. Štoviše, moguće je i taj skup vrlo lako predstaviti kao jedan broj:

[u ovom primjeru u osnovne znakove je ubačen i znak jednakosti te mu je pridružen G. broj 5, a znaku '0' je pridružen G. broj 6]

Aritmetička formula ‘nula je jednako nula’ ima Gödelov broj 243 milijuna. Čitamo li je prema dolje od A do E, ilustracija pokazuje kako se broj prevodi u izraz koji predstavlja. Čitamo li je prema gore, ona pokazuje kako se izvodi Gödelov broj za formulu.

A                      243 000 000

B                      64 * 243 * 15 625

C                      2⁶ * 3⁵ * 5⁶

D                      6      5      6

                         ↓      ↓      ↓

                        0      =     0

E                             0 = 0

[Nagel, str. 58.]

Na potpuno jednak način moguće je kodirati nizove formula – npr. matematičke dokaze (svaki dokaz je ustvari niz formula).

Gödel je izgradio iskaz G (nazovimo ga tako), koji, metamatematički čitan, govori o sebi da je nedokažljiv i koji je u sustavu P neodlučljiv … Neodlučljiv je, pokazuje Gödel, i aritmetički stavak, nazovimo ga C, koji, metamatematički razumljen, kaže da je aritmetički sustav u kojem je C izgrađen (sustav P), suvisao. Nadalje, kako je G istinit, pokazuje se da je pojam aritmetičke istine nesvedljiv na pojam aritmetičke dokažljivosti.

Tamo gdje se očekivala najveća moguća egzaktnost (u aritmetici i matematičkoj logici), neočekivano se, i to na najprecizniji način, otvorio rascjep, kako u samome sustavu, tako i između istine i sustava. [Kovač, str. 33.]

Ono što Kovač naziva iskazima G i C ustvari su ključne formule u dokazu. Važnost iskaza C tehničkije je naravi, zanimljiv matematičarima više no filozofima. Taj dio Gödelovog dokaza ustvari je pokušaj rješavanja tzv. Hilbertovog drugog problema. Problem se sastojao u pronalaženju dokaza da je aritmetika konzistentna. Gödel je pokazao da je aritmetika ili protuslovna samoj sebi, ili dokaz konzistentnosti aritmetike ne postoji. To je isto što i reći: ako je aritmetika konzistentna, dokaz same te činjenice ne postoji. No, valja napomenuti da je Gödel dokazao „samo“ nepostojanje dokaza konzistentnosti aritmetike unutar izražajne moći aritmetike (njegov dokaz temelji se na zrcaljenju metamatematike u matematici, točnije u aritmetici). Time nije isključeno da postoji uvjerljiv dokaz (po Hilbertovim kriterijima pri postavljanju problema: u kojemu se ne koriste metode koje na ovaj ili onaj način barataju beskonačnim skupovima objekata) koji je iz nekog razloga nemoguće predstaviti jezikom aritmetike. Ipak: teško je zamisliti takav ne-aritmetički finitistički dokaz (teško je zamisliti već i kako bi bilo kakav dokaz takve vrste – „finitistički“ a ujedno nepredstavljiv u jeziku aritmetike – uopće trebao izgledati), i svaki dosadašnji pokušaj za stvaranjem takvog dokaza je propao. Stoga bi se za taj (2. po redu) Gödelov zaključak moglo reći da dokazuje kako vjerojatno ne postoji dokaz konzistentnosti aritmetike.

Iskaz G je donekle zanimljiviji (zbog svoje strukture i pomalo paradoksalne naravi) pa se obično samo o njemu i govori kad se govori o Gödelovom dokazu. Što dakle kaže iskaz G? Zanimljivo je da G sam po sebi i nije osobito koristan. G metamatematički kaže otprilike „Neizvodiv sam“ (što zvuči vrlo intrigantno, ali je nažalost nedovoljno opširno), dok je u matematičkom pogledu to posve nečitljiv zbir matematičko/logičkog znakovlja (kad bi se krenula ispisivati u svom „izvornom“ čisto-matematičkom obliku koji sadrži samo elementarne znakove, zauzela bi značajno veći prostor od onog što ga nude sve bilježnice na svijetu zajedno). G je stoga najzanimljivje promatrati u miješanom matematičko-metamatematičkom obliku. Gödel je na samom početku svog članka dao skicu dokaza u kojoj se javlja takav oblik (u nastavku taj dio nije izravno prepisan jer se u toj skici javljaju neki tehnički pojmovi koje se može izbjeći).

Posebnu vrstu aritmetičkih tvrdnji čine tvrdnje koje u sebi sadrže točno jednu slobodnu brojevnu nepoznanicu (sve brojevne nepoznanice za koje ima smisla uvrstiti neku vrijednost), i u kojima je ta nepoznanica prvog tipa (tj. obična varijabla koja mijenja broj). Primjer takve formule je „x = 5“, također i „x * x = x“ (i bilo koja druga jednadžba s jednom nepoznanicom, ali i ne samo one). Ovisno o vrijednosti nepoznanice, te formule mogu biti istinite ili neistinite. Npr. za x = 5, formula „x = 5“ će očito biti istinita, dok „x * x = x“ neće. Bez uvrštavanja, te formule su „otvorene“ i kako nemaju istinitosnu vrijednost, ne smatraju se iskazima.

Zamislimo sad da sve moguće formule s točno jednom slobodnom brojevnom nepoznanicom poredamo po nekom kriteriju. Npr. po broju osnovnih znakova koji koriste, a za one koje imaju jednak broj osnovnih znakova, po dogovorenoj abecedi. Na 1. mjestu bi se mogla naći primjerice formula „0 = x“. Oznakom R(n) označimo n-tu formulu u tom poretku. Označimo zatim sa [R(n), c] formulu koju dobijemo kad u formuli R(n) nepoznanicu zamijenimo s brojem c. Primjerice, ako je R(1) kao u gornjem primjeru formula „0 = x“, onda će [R(1), 5] dati formulu „0 = 5“. Ta formula je „zatvorena“ jer se u njoj ne javljaju slobodne nepoznanice, stoga je ona ili istinita ili neistinita.

Odredimo potom jedan podskup (moguće je da se radi o nepravom podskupu) prirodnih brojeva K tako što ćemo odrediti uvjet pod kojim je prirodan broj n unutar K:

n je unutar K ako i samo ako formula [R(n), n] nije dokaziva.

Nazovimo ovu rečenicu A. Zasad je ključno napomenuti da je svaki pojam i svojstvo spomenuto u A („biti unutar“, „ako i samo ako“, „formula“, „R(n)“, „[R(n), n]“, „nije dokaziva“ …) takvo da ga je moguće predstaviti pomoću neke kombinacije logičkih veznika, brojeva i brojevnih odnosa. Npr. „x je formula“ je vrlo duga formula koja provjerava ima li x (pritom je x izražen u obliku kodirane formule, tj. x je neki Gödelov broj) neko svojstvo koje samo formule mogu imati. Početak takve provjere bi mogao biti primjerice je li x prost broj ili ne; naime nijedna formula nije izraziva pomoću samo jednog prostog broja (što je očito iz načina na koji je aritmetika aritmetizirana), pa ako je x prost broj, onda x sigurno nije neka formula. Iako je teško umno obujmiti A u ovom „polovičnom“ matematičko-metamatematičkom obliku, on ipak najbolje izražava njenu srž (puno jasnije nego čisto-matematički oblik, ili čisto metamatematički (ako takav uopće postoji)). Srećom, u praksi nije previše teško baratati s njom, primjerice: Je li 1 unutar K? Ako u rečenici A svaku pojavu nepoznanice (n) zamijenimo s 1 i dobivena rečenica A’ tada bude istinita, 1 je unutar K.

1 je unutar K ako i samo ako formula [R(1), 1] nije dokaziva.

=

1 je unutar K ako i samo ako formula „0 = 1“ nije dokaziva.

Pod pretpostavkom da je aritmetika konzistentna, „0 = 1“ svakako nije dokaziva i stoga je broj ’1′ doista unutar K (to naravno vrijedi samo pod pretpostavkom da je aritmetika doista konzistentna; ako aritmetika nije konzistentna, ne samo da ’1′ nije unutar K, već je K prazan skup!). Nije doista bitno je li ’1′ unutar K ili ne (to ionako ovisi o principu po kojem su formule poredane), bitno je „samo“ imati na umu da A ima neki, barem maglovit, smisao.

Primijetimo potom kako je i sam A jedna formula. Možda je korisno primijetiti da A u tom obliku nema slobodnih nepoznanica, tj. iako sadrži nepoznanicu  n, ta nepoznanica je „vezana“ u formuli, i možemo pretpostaviti da je A istinita (to i radimo jer je ona ustvari definicija, doslovno odlučujemo da bude istinita). Zanima nas posebno jedan dio formule A, nazovimo ga U:

formula [R(n), n] nije dokaziva

Primijetimo još i da je U također formula, i to formula s točno jednom slobodnom brojevnom nepoznanicom (!). Zbog te osobitosti, nužno je da se U nalazi negdje u našem prethodno dogovorenom poretku formula s jednom slobodnom brojevnom nepoznanicom, na nekom točno određenom mjestu. Označimo to mjesto s brojevnom konstantom q (nije bitno čemu je konkretno jednak q (npr. je li on = 1000), dovoljno je znati da on nužno postoji). Dakle, vrijedi U = R(q).

Konačno, rečenica G glasi:

[R(q), q]

Pretpostavimo prvo da vrijedi identitet istinitosti i dokazivosti.  Pitamo se je li G dokaziv. Pretpostavimo da jest. Pogledajmo što sve vrijedi pod tom pretpostavkom (za početak, uvrštavanjem q u A):

 q je unutar K ako i samo ako formula [R(q), q] nije dokaziva.

Ako je [R(q), q] dokaziva formula (a jest, jer je to netom pretpostavljeno), onda q nije unutar K (uvjet da formula bude unutar K je nedokazivost formule).

 No, pogledajmo što G tvrdi na sadržajnoj razini. Ako je G dokaziv, G je po identitetu i istinit. Evo što se događa kad u R(q), odnosno u U, ubacimo q.

formula [R(q), q] nije dokaziva

Podebljani dio nije ništa drugo doli sam G! Tj. dobili smo sljedeći rezultat:

formula G nije dokaziva

Ako je to istina, onda je q sigurno unutar K, jer je dani iskaz ništa drugo doli ispunjen uvjet za biti unutar K. No to je u proturječju s prvim izvedenim zaključkom po kojem je q izvan K! Drugim riječima, ako prihvatimo da je G dokaziva, slijedi da je q izvan K, a također i da je q unutar K. Stoga zaključujemo da je neka od pretpostavki kriva: ili ne vrijedi identitet istinitosti i dokazivosti ili G nije istinita.

Pretpostavimo sada opet da vrijedi identitet istinitosti i dokazivosti, ali ovaj put da G nije istinita (što je zbog identiteta isto što i pretpostaviti da je G nedokaziva). Tada je q, kao i svi redni brojevi nedokazivih formula, unutar K. No, ako je q unutar K, onda je G istinita (!), jer G upravo izražava da je q unutar K. Dakle, ako je G neistinita, G je istinita. To je nemoguće, pa zaključujemo da G nije niti istinita (dokaziva) niti neistinita (nedokaziva).

Što se sada sve dogodilo? Evo shematski prikaz („ne-“ ispred formule označava formulu koja tvrdi upravo protuslovnu tvrdnju od početne):

Pretpostavka (0): iskaz A, „n je unutar K ako i samo ako formula [R(n), n] nije dokaziva.“

       Pretpostavka (1): „istinito“ = „dokazivo“

       Posljedica (2): ili formula G ili formula ne-G je dokaziva /zbog (1)

             Pretpostavka (3): G, tj. [R(q), q], je dokaziva formula.

             Posljedica (4): q nije unutar K                               /zbog (0)

             Posljedica (5): G je istinita                                    /zbog (1) i (3)

             Posljedica (6): formula G nije dokaziva                   /zbog (5) i sadržaja od G

             Posljedica (7): q je unutar K                                  /zbog (0) i (6)

             (4) i (7) su u protuslovlju, stoga je (3) neodrživa pod trenutnim pretpostavkama

             Pretpostavka (8):  ne-G, tj. ne-[R(q), q], je dokaziva formula

             Posljedica (9): q je unutar K                                  /zbog (0) i (8)

             Posljedica (10): G je neistinita                               /zbog (1) i (8)

             Posljedica (11): G je dokaziva formula                   /zbog (10) i sadržaja od G

             Posljedica (12): q nije unutar K                             /zbog (0) i (11)

             (9) i (12) su u protuslovlju, stoga je (8) neodrživa pod trenutnim pretpostavkama

       Posljedica (13): niti je G dokaziva, niti je ne-G dokaziva

       (2) i (13) su u protuslovlju, stoga je (1) neodrživa pod trenutnim pretpostavkama.

Stoga: „istinito“ ≠ „dokazivo“.

Upravo predstavljenim dokazom nije se dokazala samo nepotpunost sustava „P“, već bilo koje dovoljno snažne aritmetike uopće. Rečenice A, U i G su, u svom sadržajnom (metamatematičkom) smislu, dovoljne za stvoriti „paradoksalnu“ situaciju na kojoj počiva Gödelov dokaz. Stoga je bilo koji sustav u kojem se može izraziti metamatematički smisao rečenica A, U i G nužno nepotpun.

No, ono što je još zanimljivije od općenitosti metode korištene u dokazu je da se sustavi ne mogu zakrpati. Tj. dodavanjem rečenice G među aksiome (ili dodavanjem rečenice ne-G) sustav će i dalje imati dokazne rupe. Dodavanje zakrpe bilo gdje u sustavu ima neželjenu posljedicu da se negdje drugdje u sustavu otvara nova rupa. Imamo li, primjerice, sustav P, te mu dodamo aksiom G, i time dobijemo novi sustav P’, otvorit će se „rupa“ koju nismo pokrili. Razlog se krije u tome što G ne govori o P’ već o P, tj. o starom sustavu, a ne o onom trenutno zanimljivom. Dakle, iako će u sustavu P’ formula G biti dokaziva, postojat će jedna druga formula, formula koju možemo označiti sa G’, koja će biti nedokaziva – i ona će kompromitirati potpunost sustava P’ (na isti način su nepotpuni i P”, P”’ itd.)

Prema tome je matematika nepotpuna u dva smisla (koji se međusobno ne isključuju), oba puta s mogućim metafizičkim posljedicama:

1. ili se svi matematički očiti aksiomi i njihove posljedice ne mogu obuhvatiti  dobro definiranim sustavom, te naš matematički um nadilazi svaki konačan stroj (u tom se slučaju čini da se rad ljudskoga uma ne može svesti na (mehanički) rad mozga (stajalište koje Gödel nazivlje „vitalizmom“),

2. ili opstoje apsolutno neodlučljivi matematički stavci (u tom slučaju s praktičnom sigurnošću slijedi da su matematički predmeti (skupovi) neovisni o našim umskim činima i odlukama („pojmovni realizam“ ili „platonizam“); inače bismo, kao stvaratelji matematičkih predmeta, nužno poznavali sva svojstva tih predmeta. [Kovač, str. 35.]

Literatura:

• Kurt Godel, O formalno neodlučivim stavcima Principia Mathematica i srodnih sustava I, u Ernest Nagel/James R. Newman, Gödelov dokaz, Zagreb 2001.
• Ernest Nagel/James R. Newman, Gödelov dokaz, Zagreb 2001.
• Srećko Kovač, Logičko-filozofijski ogledi, Zagreb 2005.

§46. paradoks?

Možda bi nekog ranijeg čitatelja, kad bi navratio na ovaj Uvod nakon što je izbivao zadnja dva mjeseca, iznenadio više matematički karakter zadnjih zapisa (od §41. nadalje). Pa da se podsjetimo kako smo dospjeli u tu tematiku. Pokušao sam slijediti slutnju da se isto ono što su predsokratovski Grci nazivali apeiron (§38.) u suvremenoj (tzv. ”kontinentalnoj”) filosofiji naziva Lacanovim imenom ”ono Realno”. Mada nužno propada pokušaj da se Realno samo opiše unutar jezika ili općenito simboličkog reda, ono ipak ne ostaje vječno skrivena ”stvar u sebi”, nego se očituje u obliku pukotina, rupa, praznina, uvrnuća, petlji, aporija i paradoksa u simboličkom redu. Lacan je, čini se, smatrao da su dobri primjeri za to Heisenbergove relacije neodređenosti (§41.) u fizici i Russelov paradoks u matematici.  

Lacan smatra da se u jeziku uvijek pojavljuje nešto anomalno, nešto neobično, neobjašnjivo: aporija. Ove aporije upućuju na prisutnost ili utjecaj realnoga u simboličkom poretku. O njima govorim kao o petljama u simboličkom poretku.

Argument koji je u ranom dvadesetom stoljeću nastojao razriješiti Bertrand Russell sačinjava upravo takvu aporiju. Pokušao je ispitati status svih kataloga koji ne uključuju sebe kao članove. Na primjer, lako se može zamisliti umjetnički katalog koji na dugačkom popisu drugih umjetničkih kataloga spominje samog sebe, a bez sumnje postoje neki koji to čine. Međutim, razmotrimo dilemu nekoga tko nastoji napraviti katalog koji uključuje sve one kataloge koji ne spominju sebe unutar svojih vlastitih korica… Treba li ta osoba naslov toga kataloga što ga stvara uključiti u svoj popis? Ako ga on/a odluči ne uključiti, onda će to također biti katalog koji ne sadržava sebe kao član i koji bi zato trebao biti uključen. S druge strane, ako ga odluči uključiti, onda će to biti katalog koji uključuje sebe kao član i koji zato ne bi trebao biti uključen. Što tvorac kataloga treba učiniti?

Precizan status kataloga koji ne uključuju same sebe na kraju ostaje paradoksalan: nemoguće je utvrditi što sadržava, a što ne. Lacanovo … realno … upravo je takve prirode. Njegov status uvijek nalikuje onom logičke iznimke ili paradoksa. (Bruce Fink 1995.)   

Ovaj je primjer s katalozima jedna varijanta koja dobro pokazuje paradoks, ali je važan i kontekst u kome je Russell dospio do tog paradoksa: rad na utemeljenju matematike u teoriji skupova. Kao što smo vidjeli (§45.), u drugoj polovici 19. stoljeća došlo je do velike mijene u pojmu broja, tako da je najopćenitije broj (naime, realni broj) shvaćen kao beskonačni skup. Time je na mjesto temeljnog matematičkog pojma umjesto prirodnog broja (kod Grka) ili općenito ratia (od početka Novog vijeka) stupio pojam skupa.

Grci nisu o omjerima mislili kao da su i sami brojevi. No, do vremena Descartesa i Newtona, brojevi su rekonstruirani. Kao što reče Newton: ”Pod brojem razumijevamo ne toliko neko mnoštvo jedinica [kao Grci], koliko apstraktni omjer (ratio) bilo koje veličine spram druge istovrsne veličine, a kojega uzimamo kao jedinicu.” … Posljedično, prirodni su brojevi svedeni na posebni slučaj omjera. …

Drugu korjenitu rekonstrukciju naš pojam broja je pretrpio s pojavom teorije skupova u 19. stoljeću, na osnovi rada matematičara poput Cantora, Dedekinda i drugih… Opaženo je da skupovi predstavljaju prirodne brojeve i stoje u omjerima: primjerice jedan skup može biti n-član a drugi 2n-član, pa drugi može biti dvostruko-član prema prvome. Zapravo određeni skupovi imaju sva matematički zanimljiva svojstva koja imaju prirodni brojevi, pa su prirodni brojevi jednostavno poistovjećeni sa skupovima od kojih se matematički ne mogu razlikovati. I omjeri su poistovjećeni sa skupovima koji pokazuju sva matematički bitna svojstva koja se pripisuju racionalnim brojevima. Na primjer, omjer se nekad poistovjećuje sa skupom parova brojeva koji stoje u takvom omjeru. Slično su se realni brojevi poistovjetili sa određenim skupovima koji imaju sva matematički zanimljiva svojstva koja karakteriziraju realne brojeve… Ova zamjena brojeva skupovima je paradigmatična za glavnu struju metafizike u dvadesetom stoljeću, koja univerzalije (vidi opće?) Platona ili Aristotela ne odbacuje naprosto, poput nominalista, nego ih preobličuje u skupove. (John Bigelow 1995.)

”Cantorov raj” (§45.) je, dakle, u tome što je u teoriji skupova pronađen jedinstveni temelj raznolikih grana matematike. Prva nevolja u raju bio je Russellov paradoks. Razmotrimo ga još jednom, ovaj put u izvornom kontekstu, preko pojma skupa.

Taj paradoks ide ovako. Razmotrimo skup R koji se sastoji od ”svih skupova koji nisu članovi samog sebe”. (Za sada nije važno jeste li spremni povjerovati da skup može biti svoj član. Ako nijedan skup nije član samoga sebe, onda je R skup svih skupova.) Pitamo: što je sa samim skupom R? Je li on član samoga sebe? Pretpostavimo da jest. Tada, budući da pripada skupu R svih skupova koji nisu članovi samog sebe, ipak ne pripada samom sebi – proturječje! Druga moguća pretpostavka jest da ne pripada samom sebi. Ali, tada mora biti član cijele obitelji skupova koji nisu članovi samoga sebe, naime skupa R. Stoga R pripada skupu R, što proturječi pretpostavci da ne pripada samome sebi. To je jasna kontradikcija! (Roger Penrose 2004.)

To zahtijeva ponešto apstraktnog razmišljanja. Konkretniji je oblik također dao Russell:

Seoski brijač brije one muške stanovnike sela koji sami sebe ne briju.
Brije li se brijač sam?

Da, upravo onda ako sam sebe ne brije!

Russellova proturječja i slični paradoksi pokazuju da pojam ”skup” u svom ”naivnom” obliku može biti kontradiktoran. (Helmut Moritz 1995.)

Otkriće je potreslo matematički ”raj”, a sam otkrivač Russell je pokušao zakrpiti pukotinu, i to tako da je naprosto zabranio takve problematične skupove, i proglasio ih ne-skupovima!  

Tko pročita Fregeove riječi na kraju njegova velikog glavnog djela ”Osnovni zakoni aritmetike”, riječi koje su usprkos svojoj vanjskoj opuštenosti gotovo očajničke, a kojima je 1902. prvi put objavio Russellov paradoks što mu ga je on bio saopćio u pismu, taj će još i danas moći osjetiti potresenost što ju je izazvalo to kobno otkriće… Je li samo matematičko mišljenje dospjelo u neprevladivu krizu ili se iz nje iskoprcalo?

Ne može se poreći da se u nauku o skupovima ne smije postupati onako ”naivno” kako se to dosada smatralo mogućim. Ne smiju se tvoriti proizvoljno veliki, naime ”sveobuhvatni” skupovi; treba se čuvati autoreferencijalnih … pojmova. Russell je postavio glasoviti ”princip circulusa vitiosusa”: sve što uključuje sve članove neke ukupnosti ne može biti član te ukupnosti. No znači li to ograničavanje tvorbe skupova (tj. logički gledano: tvorbe pojmova) ujedno i ograničavanje matematičkog mišljenja kao takvog? … Ne bismo li jednog dana mogli otkriti još neslućene paradokse protiv kojih princip circulusa vitiosusa ne može pomoći? I nadalje: ne krnji li stroga i konsekventna primjena tog principa domet matematičkih argumenata? Nisu li možda upravo ti sada ”zabranjeni” načini zaključivanja bili važni, čak neophodni za izgradnju golemog zdanja moderne matematike? (Oskar Becker 1959.)   

Između ostaloga, to znači da ne može postojati npr. skup svih skupova (jer uključuje i samoga sebe). Ni Penrose nije baš uvjeren takvim ”rješenjem”:

Može se činiti čudnim da je nešto tako jasno poput ”skup svih skupova” zabranjen pojam… Ima nečeg što se čini prilično nezadovoljavajućim u svemu tome. Moram priznati da sam ja sam time odlučno nezadovoljan. (Roger Penrose 2004.)

Russell je krivnju za paradoksalnost prepoznao u samo-odnosnosti (auto-referencijalnosti), naime, u problemima koji se ponekad javljaju kada se neki simbolički iskaz odnosi na samoga sebe. (Primjerice,  ova je rečenica samoodnosna (mada nimalo paradoksalna) jer se odnosi na samu sebe.) Jedan takav paradoks bio je poznat još od Grka:   

Russell je opisani paradoks povezao s nizom antinomija, od kojih su neke bile poznate odavno, čak iz antike. Najpoznatija je od njih paradoks lažljivca.

Najjednostavniju varijantu ovog paradoksa predstavlja čovjek koji kaže, naprosto, ”Ovo što govorim, jest laž”, ili ”Rečenica koju upravo izričem, jest neistinita”, ili jednostavno ”Lažem”. Ako govori istinu, onda laže, odnosno govori neistinu. Ako pak govori neistinu, onda nije istina da govori neistinu: dakle, ne laže. Ovakav lažljivac laže ako i samo ako ne laže.

Ovakav paradoks bio je, u različitim varijantama, poznat već u antici i historija filosofije povezuje ga najčešće s imenima filosofa megarsko-stoičke škole. Čak je i u Novom zavjetu sačuvano svjedočanstvo o popularnosti ove antinomije. Poslanica svetog apostola Pavla Titu sadrži Pavlove upute kretskom biskupu. Apostol ga opominje: ”Reče jedan od njih, njihov vlastiti prorok: ‘Krećani su uvijek lažljivi, zle živine, besposleni trbusi.’ Ovo je svjedočanstvo istinito. Zato ih strogo karaj da budu zdravi u vjeri.” (Tit 1, 12-13)

Pavlovo mišljenje o Krećanima očito nije bilo naročito pohvalno. Čak i jedan od njih kaže da Krećani uvijek lažu. Pavao smatra da je ta izjava istinita. No može li biti istinita? Naime, ako je istinita, onda je sve što Krećanin kaže neistina, pa je i ta izjava neistinita. Ako je pak neistinita, onda, znači, nije istina da svi Krećani uvijek lažu, odnosno, postoji bar jedan Krećanin koji bar katkad govori istinu. Izjava o lažljivim Krećanima obično se pripisuje Epimenidu, stanovniku grada Festosa na Kreti. Ona, može se reći, ne predstavlja paradoks istoga ranga kao jednostavni paradoks lažljivca.

Po Russelu sve ove kontradikcije imaju zajedničku strukturu. Svima je zajedničko ”samoodnošenje”, ”samooznačavanje” ili ”refleksivnost”, i u svima se do tog samodnošenja dolazi na isti način. (Goran Švob 2009.)

Izrazito kritičan (što se mene tiče, s pravom) spram Russellove zabrane samoodnosnosti je poznati ljubitelj petlji i ostalih uvrnutosti Douglas Hofstadter.

Russell se upinjao kako bi utemeljio matematiku u teoriji skupova, za koju je bio uvjeren da je najdublja osnova ljudske misli, ali baš kad je mislio da je nadomak svog cilja, neočekivano je otkrio strašnu prazninu u teoriji skupova. Ta praznina (ta riječ je savršeno prikladna na ovom mjestu) temeljila se na predočbi o ”skupu skupova koji ne sadrže sebe”, predočbi koja je bila legitimna u teoriji skupova, ali za koju se pokazalo da duboko proturječi samoj sebi…

Kad se pokazalo da teorija skupova dopušta postojanje entiteta koji sami sebi proturječe, poput spomentuoga, Russelov san o postavljanju čvrste podloge matematici raspao se kao kula od karata. Ta je trauma izazvala u njemu strah od teorija koje dopuštaju petlje samosadržavanja ili petlje samoreferentnosti, jer je on intelektualnu propast koju je doživio pripisivao petljastosti i samo petljastosti.

Pokušavajući se oporaviti, Russell je nakon toga u suradnji s Whiteheadom, svojim starim mentorom koji mu je u međuvremenu postao kolega, izmislio novu vrstu teorije skupova u kojoj se definicija skupa nikad ne može pozivati na taj skup i, osim toga, u kojoj je uspostavljena stroga jezična hijerarhija kojom se isključuje da se bilo koja rečenica uvrće u samu sebe. U knjizi Principia Mathematica nije smjelo biti nikakvih skupova koji bi se preklapali u sebe niti se je jezik smio vraćati u sebe. Ako je neki formalni izričaj sadržavao riječ kao što je ”riječ”, ta riječ se nije smjela odnositi na sebe niti je smjela uključivati sebe, već se odnosila samo na entitete na razinama ispod sebe.   

Kad sam pročitao o toj ”teoriji skupova” učinilo mi se da je to patološki uzmak od zdravog razuma, kao i od čarolije petlji. Što bi pobogu moglo biti krivo u tome da ”riječ” spada u kategoriju ”riječi”? … Kako treba gledati na rečenicu ”Ova rečenica sadrži petnaest slogova” ili ”Posljednja riječ u ovoj rečenici je sedmeroslovna imenica”? Vrlo je lako razumjeti obje te rečenice; očito je da su one istinite, a ni u kom slučaju nisu paradoksalne… Učinilo mi se da je kategoričko isključivanje svih referentnih petlji takav paranoičan manevar da sam za cijeli život ostao razočaran umom Bertranda Russella koji je, pošto se opekao, puhao na hladno.

Mnogo godina nakon toga, kad sam pisao mjesečnu kolumnu pod naslovom ”Metamagične teme” za časopis Scientific American, posvetio sam svoja dva članka temi samoreferentnosti u jeziku i u njih sam uključio mnoštvo rečenica … poput sljedećih:

• Ako bismo zamijenili značenja riječi ”istinit” i ”lažan”, onda ova rečenica ne bi bila lažna.
• Sljedeća rečenica je potpuno identična s ovom, osim u tome što su riječi ”sljedeća” i ”prethodna” zamijenile mjesta, isto kao i riječi ”osim” i ”u” te izrazi ”identična s” i ”različita od”.
• Prethodna rečenica je potpuno identična s ovom, u tome što su riječi ”prethodna” i ”sljedeća” zamijenile mjesta, isto kao i riječi ”u” i ”osim” te izrazi ”različita od” i ”identična s”.
• Oav rečenica nije samoreferentna jer ”oav” nije riječ. (…)

Reakcije mnogih čitatelja bile su pozitivne, ali je također bilo i nekoliko krajnje negativnih reakcija na ono što su neki čitatelji smatrali pukom frivolnošću u inače uglednom časopisu. Jedan od najljućih prigovora … naveo je izjavu poznatog psihologa B. F. Skinnera u vezi s temom samoreferentnih rečenica.

”Možda nema nikakve štete u igri rečenicama na taj način … ali je to svejedno gubitak vremena, osobito kad se tako stvorene rečenice nisu mogle izreći u obliku verbalnog ophođenja. Klasičan primjer toga je paradoks poput onoga: ‘Ova rečenica je kriva’, koja se čini istinitom ako je kriva a krivom ako je istinita. Najvažnije je uzeti u obzir da nitko nikad ne bi mogao izreći tu rečenicu kao verbalno ophođenje…”

U sljedećem broju napisao sam dugačak odgovor … navodeći slučaj za slučajem očigledne i često korisne, čak i nužne samoreferentnosti u običnoj ljudskoj komunikaciji, kao i u humoru, umjetnosti, književnosti, psihoterapiji, matematici, računalskoj znanosti i drugdje. No nisam se uspio osloboditi spoznaje da su neki viskoobrazovani i inače razumni ljudi iracionalno alergični na zamisao samoreferentnosti i na ustrojstva ili sustave koji se uvrću sami u sebe. (Douglas Hofstadter 2007.)

Literatura:

1. Bruce Fink, Lakanovski subjekt: između jezika i jouissance, Zagreb 2009., str. 36.-37., prevela: Ana Štambuk, izvornik: Bruce Fink, The Lacanian subject: between language and jouissance (1995.)
2. John Bigelow, Number, u A Companion to Metaphysics, uredili J. Kim i E. Sosa, Oxford 1995., str. 364.-365., preveo: ja
3. Roger Penrose, The Road to Reality, London 2004., str. 372., preveo: ja
4. Helmut Moritz, Znanost, um i svemir, Zagreb 1998., str. 34.-35., preveo: Dušan Trbojević, izvornik: Helmut Moritz, Science, Mind and the Universe: An Introduction to Natural Philosophy (1995.)
5. Oskar Becker, Veličina i granica matematičkog načina mišljenja, Zagreb 1998., str. 112.-113., preveo: Kiril Miladinov, izvornik: Oskar Becker, Grösse und Grenze der mathematischen Denkweise (1959.)
6. Penrose, isto, str. 372.,373.
7. Goran Švob, Od slike do igre, Zagreb 2009., str. …
8. Douglas Hofstadter, Čudnovata petlja sam ja, Zagreb 2008., str. 92.-93., preveo: Žarko Vodinelić, izvornik: Douglas Hofstadter, I am a Strange Loop (2007.)

§45. beskonačno?

Ako bi zapisom §42. doista mogao započeti neki ”uvod u beskonačnost”, možda ne bi trebalo zastati na tome što se o beskonačnosti znalo prije 25 stoljeća. Ipak, najprije se podsjetimo: za Grke su brojevi prije svega cijeli brojevi, a onda i omjer (ratio, logos) dva takva broja, dakle ”racionalni brojevi”. To što danas nazivamo ”iracionalnim brojevima” oni nisu smatrali brojevima, mada su znali kako konstruirati nesumjerljive duljine, poput npr. dužine duge √2. Omjere takvih duljina – npr. omjer opsega i promjera kruga, naime π – također su nazivali logos-ima, ali ih nisu smatrali brojevima. Čini se da je razlog za to bila svijest kako bi definicija takvih brojeva zahtijevala prihvaćanje postojanje aktualne beskonačnosti. Dok je metafizici Novoga vijeka uobičajena predočba da je ono božansko beskonačno, za pitagorovce (pa i Platona) je onome dobrome (pa onda i božanskome) bila svojstvena granica, odmjerenost, a potpuna neograničenost i bezmjernost bila je svojstvena onome što je izopačeno, ne-božansko. Vjerojatno otud kod Grka oklijevanje da se napravi korak ka aktualno beskonačnom, pa im beskonačno uvijek ostaje tek potencijalno (vidi §43.)

Potreba za kvadratnim korijenom iz 2 natjerala je Grke, uvelike protiv njihove volje u to doba, da napuste okvire cijelih i racionalnih brojeva – jedinih vrsta brojeva koje su bili spremni prihvatiti… Mi danas opravdano ne brinemo ako se neka geometrijska veličina ne može mjeriti samo pomoću racionalnih brojeva. To je stoga što nam je sasvim uobičajen pojam ”realnog broja”. Mada naši džepni kalkulatori iskazuju brojeve pomoću samo konačnog broja znamenki, lako prihvaćamo da je to približnost na koju nas prisiljava činjenica da je kalkulator konačan predmet. Spremno dopuštamo da idealni matematički broj može zahtijevati da se decimalni niz nastavi neograničeno. To, naravno, vrijedi i za decimalni oblik većine razlomaka, poput

1/3=0.333333333…,

29/12=2.416666666…,

9/7=1.285714285714285…,

237/148=1.601351351351… .

Za razlomak je decimalni niz na kraju uvijek periodičan, što će reći da se nakon određene točke niz znamenaka sastoji od nekog konačnog niza koji se neograničeno ponavlja. U gornjim primjerima ti ponavljajući nizovi su, redom, 3, 6, 285714, i 135.

Decimalni zapis nije bio dostupan drevnim Grcima, ali su oni imali vlastite načine bavljenja iracionalnim brojevima. Zapravo su prihvatili jedan sustav predstavljanja brojeva pomoću onoga što se danas naziva verižnim razlomcima… Svaki se racionalni broj veći od 1 može zapisati [u tom obliku] kao … npr.

[ili 52/9 = 5 +(1 +(3 +(2)^-1)^-1)^-1], a za prikazati neki pozitivni racionalni broj manji od 1 samo trebamo dopustiti da prvi broj u izrazu bude nula. Da bismo prikazali neki realni broj koji nije racionalan, samo dopustimo da verižni razlomak ide u beskraj, kao na primjer

√2 = 1 +(2 +(2 +(2 +(2 +…)^-1)^-1)^-1)^-1,

π = 3 +(7 +(15 +(1 +(292 +(1 +(1 +(1 +(2 + …)^-1)^-1)^-1)^-1)^-1)^-1)^-1)^-1. (…)

Koliko su o tome znali drevni Grci? Čini se vjerojatnim da su znali dosta toga… Platonov suvremenik Teetet je, čini se, ustanovio većinu toga. Izgleda kako čak postoje neki dokazi o tome  otkriveni u Platonovoj dialektici… Mada se smatra da potpuno zadovoljavajuća definicija takozvanih ”realnih brojeva” nije otkrivena do 19. stoljeća (u radovima Dedekinda, Cantora i drugih), veliki grčki matematičar i astronom, Eudoks, koji je bio jedan od Platonovih učenika, došao je do bitnih zamisli već u 4. stoljeću prije Krista. (Roger Penrose 2004.) 

Prije nego preskočimo iz Platonove Akademije na početak nama suvremene matematike, podsjetimo se kako je na početku Novog vijeka ”riješeno” svođenje geometrijskih veličina na brojeve, a što su Grci nakon otkrića nesumjerljivosti smatrali nemogućim.

Metodu kojom se geometrija svodi na algebru, a koja je čitatelju dobro poznata pod imenom analitičke geometrije, uveo je Descartes. Njezin je temelj pridruženje broja zadanih jedinica svakoj točki koordinatne osi. Dijeljenjem i umnažanjem jedinice mjerenja možemo specificirati beskonačno mnogo točaka na koordinatnoj osi, ali ipak ne i sve njezine točke. Naime, grčko otkriće nesumjerljivosti dijagonale i stranice kvadrata pokazuje da tim postupkom nikad nećemo specificirati točku koja se prema jedinici odnosi kao dijagonala prema stranici. To je ona točka koju danas označavamo ”brojem” √2. Taj ”broj” nije razlomak, dakle racionalni (razumljivi) broj. Cantor je sredinom prošlog [naime, XIX.] stoljeća dokazao da takvih iracionalnih točaka na koordinatnoj osi ima čak više nego racionalnih (iako i jednih i drugih ima beskonačno mnogo).

 

Kao što znamo, Grci su, respektirajući ovo pitagorovsko otkriće, odustali od broja kao temelja čitave matematike (posebno geometrije). Novovjeki matematičari ne odustaju od Descartesove analitičke geometrije bez obzira na slabost njenih temelja. Oni osim racionalnih pretpostavljaju i iracionalne brojeve, operirajući s njima na isti način kao i s racionalnim brojevima, i razumijevajući ih pomoću geometrijske intuicije koja ih veže za točke koordinatne osi. Da ih je moguće vrlo djelotvorno upotrebljavati na taj način uvjerio se svaki gimnazijalac koji se njima tako i koristi. To je pitanje odsudno postavljeno i na njega je matematički odgovoreno tek u 19. stoljeću. Dedekind je iracionalni broj (npr. √2) definirao kao rez u području racionalnih brojeva, koji se sastoji od beskonačne klase racionalnih brojeva manjih od tog broja i beskonačne klase racionalnih brojeva većih od njega. … Tako je dobro zasnovan pojam broja na kojem se temelji geometrija, a čitav taj postupak poznat je pod imenom aritmetizacije kontinuuma.

Iracionalni brojevi definirani su dakle kao beskonačne klase racionalnih brojeva. Racionalni brojevi mogu očito se mogu definirati kao parovi prirodnih brojeva. Jedan član para određuje na koliko se dijelova dijeli jedinica, a drugi koliko ima takvih dijelova. … U samom temelju ostaju prirodni brojevi 1, 2, 3, 4,… Za neke će ipak ostati upitno može li se kao dobra definicija iracionalnog broja prihvatiti definicija koja se poziva na beskonačne klase racionalnih brojeva. (Zvonimir Šikić 1995.)

Upravo odgovor na tu upitnost razlikuje Platonova učenika Eudoksa od Dedekinda  stoljećima kasnije. Za razliku od Grka, matematičari 19. stoljeća bili su spremni u jednom trenutku staviti tri točke te prihvatiti postojanje aktualne beskonačnosti.

Dedekind je … definirao realne brojeve pomoću beskonačnih skupova. Njegov je pristup bio da naznači neki realni broj kao rez [L,D] racionalnih brojeva. Zamisao je da je svaki racionalni broj ili u L ili u D i da je svaki član L manji od svakog člana D. Primjerice drugi korijen iz dva bi bio predstavljen rezom [{a/b: a²/b² < 2}, {a/b: a²/b² > 2}].

Ključna je stvar kod Dedekindove definicije da je realni broj beskonačni skup. Preciznije, Dedekindov realni broj je par [L,D] beskonačnih skupova.

Zanimljiva činjenica iz povijesti matematike da je Dedekindova definicija preuzeta skoro nepromijenjeno iz Eudoksove teorije omjera dane u Euklidovim Elementima, Knjiga V. Problem kojim se bavio Eudoks je kako možemo uspoređivati omjere koji nisu omjeri neka dva prirodna broja [npr. omjer opsega i promjera kruga]. Njegovo je rješenje, u biti, smatrati iracionalni omjer X:Y kao rez oblika [{m/n | mY > nX}, {m/n | mY < nX}]. Može se vidjeti da to ima smisla ako je m/n< X/Y kad je mY < nX, i na isti način za >.

Razlika između Eudoksa i Dedekinda je to da je Eudoks mislio o omjeru dviju veličina kao temeljnoj stvari, s tim da se opis preko beskonačnog reda pojavljuje samo u praktičnom i potencijalno beskonačnom smislu (jer nam, u praksi, nikad ne trebaju svi članovi svake stane reza). Dok netko ne konstruira dvije određene veličine koje bismo uspoređivali, ekvivalentni rez nema smisla… Dedekind je, s druge strane, prihvatio aktualno beskonačne skupove reza kao temeljne. Nebitno je da li netko ima ili nema određeni trik za konstrukciju duljine koja spušta točku u procjep reza… Realni su brojevi već tu, neovisno o tome mogu li biti na konačan način imenovani ili konstruirani… (Rudy Rucker 1982.)

Nama odraslima s kalkulatorima bliža je definicija realnog broja koju je negdje istodobno s Dedekindom dao Cantor.

Cantor je u osnovi definirao realni broj naprosto kao beskonačni niz znamenki. Originalni je element njegovoga pristupa da suma beskonačnog reda nije ništa drugo ili izvanjsko samom redu. Tako suma reda 2/10+5/1000+7/10000+9/100000+… nije ništa drugo do sam taj red, također poznat kao 0.20579… Cantor je odustao od shvaćanja da su realni brojevi prvenstveno konačno dugi. Postupao je s njima prije kao s arbitrarnim nizovima oblika n.r₁r₂r₃r₄…

Kad se jednom shvatilo da se realni brojevi mogu prikazati preko beskonačnih redova, brana je pukla. Deset godina nakon Cantorove smrti već je bilo opće mjesto da se svaki matematički objekt može predstaviti nekim skupom. Ako ste ikad uzeli u ruke neki matematički tekst iz bilo kojeg polja, bila to analiza, algebra, ili topologija, opazili ste da knjiga započinje kratkim poglavljem ili odjeljkom o teoriji skupova. (Rudy Rucker 1982.) 

Cantorovu viziju beskonačnosti najlakše je objasniti jednostavnom zagonetkom. Zamislimo velik stadion pun ljudi i zamislimo da želimo ustanoviti ima li više sjedala, više ljudi, ili ih je jednak broj. Mogli bismo izbrojati ljude, izbrojati sjedala pa usporediti ta dva broja, no to bi predugo trajalo. Postoji mnogo pametniji način: uputimo ljude neka sjednu. Svi. Pa ako neka sjedala ostanu prazna, ljudi je manje. Ako neki ljudi ostanu stajati, manje je sjedala. Ako su sva sjedala zauzeta i nijedan čovjek nije ostao stajati, tada je broj sjedala jednak broju ljudi.

Cantor je ovaj trik poopćio. Rekao je da su dva skupa brojeva jednako velika ako jedan skup može ”sjesti” iznad drugoga tako da niti jedan broj ne ostane sam… Stvari postaju zanimljive kada dođemo do beskonačnih skupova… Iz skupa cijelih brojeva mogli bismo izvaditi beskonačan broj članova, primjerice, izvadimo sve neparne brojeve. Veličina skupa ostat će i dalje nepromijenjena. Svi i dalje imaju svoje sjedalo i svako je sjedalo popunjeno:

0   1    2    3    4    5     6   …

0   2    4    6    8   10   12   …

To je definicija beskonačnog: nešto što ostaje jednako veliko čak i ako oduzimamo od njega.

Parni, neparni i cijeli brojevi, svi su jednako veliki, a njihovu veličinu Cantor je označio znakom  (alef-nula, naziv je dobio po prvom slovu hebrejskog alfabeta). Kako je skup ovih brojeva jednako velik kao i skup prirodnih brojeva, bilo koji skup veličine alef-nula zove se prebrojivi. (Naravno, niti jedan od tih skupova ne možemo prebrojiti osim ako na raspolaganju imamo beskonačno mnogo vremena.) Čak i racionalni brojevi, skup brojeva koji se mogu zapisati u obliku a/b ako su a i b cijeli brojevi, prebrojivi su. Dosjetljivim načinom Cantor je racionalnim brojevima dodijelio njihova sjedala i pokazao da su veličine alef-nula.

Pitagora je znao da racionalno nije jedino što postoji pod kapom nebeskom… Cantor je otkrio da je skup realnih brojeva mnogo veći od skupa racionalnih i sasvim jednostavno je to dokazao.

Zamislimo da već imamo savršen plan sjedenja za realne brojeve, da svaki realan broj ima mjesto za sjesti, i da je svako mjesto popunjeno. To znači da možemo napraviti popis sjedala i realnih brojeva koji na tim mjestima sjede. Trik je bio taj da je Cantor stvorio realan broj koji nije na popisu.

Pogledajmo prvu znamenku prvog broja na popisu… Zamislimo neki novi broj. Da je jednak prvom broju na popisu morao bi na prvom mjestu iza zareza također imati dvojku. No, to možemo lako spriječiti… Kako ćemo znati da je naš novi broj različit od drugog broja na popisu? … Druga znamenka iza zareza drugog broja na popisu je 9. Ako naš novi na tom mjestu ima … različitu znamenku, možemo biti sigurni da je različit od drugog broja na popisu… Isti posao nastavljamo sve do kraja popisa: provjerimo treću znamenku iza zareza trećeg broja i promijenimo je, četvrtu znamenku iza zareza četvrtog broja itd…

Nastavljajući tako po dijagonali stvorit ćemo novi broj i osigurati se da je različit od svih brojeva na popisu… No bili smo pretpostavili da su na popisu svi realni brojevi. Nailazimo na kontradikciju. Izgleda da plan sjedenja ne postoji. (Charles Seife 2000.)

To da ne postoji plan sjedenja znači da realnih brojeva ima neprebrojivo beskonačno, a ne prebrojivo kao prirodnih ili racionalnih. Razlikovanje aktualne od potencijalne beskonačnosti zamijenjeno je razlikovanjem prebrojive od neprebrojive beskonačnosti.

Cantorov nauk o skupovima na izvanredno je smion način raskinuo s gotovo svom filosofskom i matematičkom tradicijom ispitivanja pojma beskonačnoga sve od Aristotela tako što je odstupio od dotada posvuda prihvaćene teze da ono beskonačno jest tek kao potencijalno. To je bilo moguće zato što je Cantorov nauk za aktualno beskonačne skupove stavio izvan snage fundamentalni aksiom koji je formulirao još Euklid: ”Cjelina je veća od dijela.” Doista, shvati li se skup parnih brojeva kao aktualno beskonačan, a jednako tako i skup svih cijelih brojeva, onda je s jedne strane očito da je prvi skup pravi dio drugoga, a s druge se članovi obaju skupova mogu jednoznačno pridruživati drugima…

Moglo bi se pretpostaviti da dva skupa kojih se članovi mogu jednoznačno pridruživati jedan drugome imaju istu ”veličinu”… Tako, dakle, tu jedan pravi dio ima jednaku veličinu… kao i cjelina.

Taj primjer usporedbe skupa parnih ili također kvadratnih brojeva sa skupom cijelih brojeva bio je odavna poznat; na to su upozoravali Galilei i Leibniz. Nova je bila samo Cantorova interpretacija. Dok su Galilei i Leibniz mislili kako povreda principa da je cjelina veća od dijela pokazuje nemogućnost aktualnog shvaćanja beskonačnoga… Cantor je upravo tu započeo svoju teoriju. On je sve skupove čiji se članovi mogu jednoznačno pridružiti članovima skupa cijelih brojeva nazvao ”izbrojivima” i dokazao da je skup racionalnih brojeva izbrojiv … dok to, naprotiv skup svih realnih (racionalnih i iracionalnih) brojeva nije. (Oskar Becker 1959.)

Možda se u toj mijeni pojma matematičke beskonačnosti krije i zametak jedne metafizičke mijene? Dok je za Grke ono zbiljsko/aktualno bilo konačno/ograničeno, a beskonačno/neograničeno je bila tek mogućnost/potencijal, za nas je, možda baš negdje od druge polovice 19. stoljeća, ono racionalno tek manji dio ne-brojivog realnog.

Sama matematika je dobila vjetar u leđa – nova središnja uloga pojma skupa i odbacivanje straha od aktualno beskonačnoga omogućili su dotad nezamislivo jedinstvo matematike. 

Hilbert, možda najveći matematičar našeg stoljeća, reći će da nas više nitko ne može izbaciti iz Cantorovog raja. (Zvonimir Šikić 1995.)

Ipak, uskoro su i u raju uslijedile nevolje.

Literatura:

1.  Roger Penrose, The Road to Reality, London 2004., str. 54.-57., preveo: ja
2. Zvonimir Šikić, Filozofija matematike, Zagreb 1995., str. 42.-44., link 
3. Rudy Rucker, Infinity and Mind, Princtone 2005. (¹1982.), str 62.-63., preveo: ja        
4. isto
5. Charles Seife, Nula, Zagreb 2008. str. 152.-156., prevela: Lucija Horvat, izvornik: Charles Seife, Zero: The Biography of a Dangerous Idea (2000.)
6. Oskar Becker, Veličina i granica matematičkog načina mišljenja, Zagreb 1998., str. 103.-104., preveo: Kiril Miladinov, izvornik: Oskar Becker, Grösse und Grenze der mathematischen Denkweise (1959.)
7. Zvonimir Šikić, isto, str. 54.

§43. Zenon?

Spor između neprekinutosti (kontinuuma) i odjelitosti (diskontinuiranosti, čestičnosti) ranom grčkom mišljenju najegzaktnije se izrazio slavnim Zenonovim paradoksima, u kojima se unutar simboličkog matematičkog reda otvara ponor onog beskonačnog. Zenon je bio Parmenidov učenik, manje sklon božanski nadahnutom misaonom pjesništvu a više analitici – pa ipak, on nastavlja Parmenidov nauk o homogenoj, kontinuiranoj i mirujućoj jednosti onoga što jest.

Polazeći od svog osnovnog principa da se o onome i samo onome što postoji može misliti i smisleno govoriti, Parmenid je, kroz usta boginje koja ga je navodno tome podučila, dokazivao da ono što postoji mora, pored ostalog, biti homogeno i kontinuirano…

Homer je u Ilijadi, priloški, rekao kako je Zevs izlivao kišu neprekidno (synehes) tokom devet dana i noći koji se jedni na druge nadovezuju. Kako je sad Parmenid mogao da upotrebi istu reč pridevski, da bi naveo jedno od obeležja onoga što postoji, kad to što postoji po njemu nije mnoštveno (to je još jedna od njegovih karakteristika)? Verovatno je Parmenid imao u vidu to da između onoga što bi smrtnici smatrali delovima onoga što postoji (a što u stvari nisu delovi) ne bi moglo biti praznine (jer je praznina ono što ne postoji), ali je, ne želeći da ni protivčinjenički pominje delove, to iskazao tako što je za samo ono što postoji rekao da je synehes, što u stvari ne znači ništa drugo do da je u sebi neprekidno. Pošto je, po Parmenidu, ono što postoji ne samo jedinstveno, homogeno i neizdeljeno već je i nedeljivo, dobili smo shvatanje po kojem kontinuum uopšte nije ni u kojem smislu struktuiran!

Zenon je u svojim dokazima protiv mnoštva indirektnim putem dokazivao isto, ali su ti dokazi značajni po tome što su se izdeljenost ili deljivost onoga što je kontinuirano najpre dopuštali, da bi se ispitalo kakve to posledice za sobom povlači. (Miloš Arsenijević 2003.)

Zenon iz Eleje (oko 500. pr. Kr) bio je odani učenik Parmenidov, koji je držao da je stvarnost jedna neraščlanjena, nepromjenjiva, nepokretna cjelina lišena bilo kakvih dijelova. Gibanje, promjena i mnoštvenost puki su prividi. Čini se da je Parmenid bio predmetom stanovitog izrugivanja; Zenonovo je poslanje bilo pobijati one koji su se zabavljali na račun njegova učitelja. Da bi ostvario taj cilj, Zenon je predložio možda i do četrdeset paradoksa namijenjenih reductio ad absurdum prostora, vremena, gibanja i mnoštvenosti.

Zenonov paradoks nazvan dihotomija dolazi u dva oblika, napredujućem i nazadujućem. U napredujućem obliku Zenon tvrdi da Ahil (neovisno o kornjači iz njegovog najčuvenijeg paradoksa) nikad ne može dotrčati s jednog do drugog kraja trkališta. Da bi prevalio čitav tijek puta, morao bi najprije prijeći pola udaljenosti. Preostaje druga polovica udaljenosti. Da bi prevalio preostalu polovicu, mora prijeći pola od nje. Preostaje jedna četvrtina udaljenosti; sad mora prijeći pola od toga. Taj se argument ponavlja neograničeno puta. S obzirom da neki konačni segment puta uvijek preostaje za prijeći, Ahil nikad ne može dostići cilj. QED

Nazadujući oblik argumenta sastavljen je da bi pokazao, još začudnije, da Ahil ne može niti krenuti s početne točke. Kao i u napredujućem obliku, Zenon započinje tvrdnjom da Ahil mora najprije prijeći pola puta, da bi prešao cijeli put. No, prije nego prijeđe prvu polovicu, mora prijeći pola od toga (prvu četvrtinu). Prije nego to učini, mora prijeći prvu polovicu prve četvrtine. Argument se ponavlja neograničeno puta. Prije nego bi Ahil mogao prijeći bilo koju konačnu udaljenost već bi morao prevaliti beskonačno mnogo konačnih segmenata. QED

Mnogi su ljudi osjećali da se ovi poznati Zenonovi paradoksi gibanja mogu jednostavno odbaciti primjenom infinitezimalnog računa. Tvrdilo se, primjerice, da napredujući oblik paradoksa dihotomije iščezava kad shvatimo da jedan beskonačni niz pozitivnih brojeva 1/2 + 1/4 + 1/8 + … ima konačnu sumu. No, ta razmatranja ne odgovaraju na pitanje je li beskonačni niz zadataka moguće obaviti u nekom konačnom vremenu. (Wesley C. Salmon 1995.)

Dakle, ono gibajuće prije negoli prijeđe cijeli put (odnosno cijelu crtu) mora prvo prijeći polovicu, zatim četvrtinu, pa osminu i tako neograničeno dalje (ep apeiron) … dakle, općenito odsječke puta 1/2ⁿ (n = 1, 2, 3,…). Valja pripomenuti kako je u ovom dokazu potpuno nebitno kako ono gibajuće, primjerice neki trkač, prelazi ove odsječke (polovice) puta koje mu valja prijeći. Od trkača bi se moglo tražiti ”da se istodobno s kretanjem prije izbroji polovica pri svakoj pojedinoj nastaloj polovici”, dakle, trkač bi mogao neprekidno legato trčati i usput brojati redom sve prijeđene polovice: [0, 1/2], [1/2, 3/4], …, [(2^{n – 1}/2ⁿ], odnosno trčati neprekidno i brojati ”prva (polovica), druga, treća,…” To bi, međutim, vodilo do jednog sasvim standardnog contradictio in adiecto, jer ”kad je prijeđena cijela crta, izlazi da je izbrojen neograničen broj, što je po općem mnijenju nemoguće”. S druge strane, kada Aristotel govori o još jednoj inačici Dihotomije u smislu da nešto ne može ”pojedince taknuti ‘neograničenosti’ u ograničenomu vremenu”, ovo ‘taknuti’ valja shvatiti doslovno; ‘taknuti’ može značiti fizički kontakt trkača i postaja na njegovom putu, koje se podudaraju s točkama puta 1/2, 3/4, 7/8, …, kojih pak ima neograničeno mnogo… Ono što je bitno u svih ovih inačica Zenonove dihotomije jest pretpostavka dolaženja trkača na cilj u konačnome, ograničenome vremenu. (Boris Kožnjak 2003.)

Dakle, da bismo prešli bilo koju određenu duljinu (što je najsvakodnevnije iskustvo) moramo moći u konačnom vremenu izbrojati beskonačno prirodnih brojeva (što ne samo da nije dio iskustva, nego se čini i nemogućim). Kao da se posred najobičnije konačne dužine otvorio bezdan beskonačnoga (apeiron). Matematika, kao najstroži vid onog simboličkog, upada u besputice pri tako jednostavnom zahtjevu, i navodi nas na pitanje je li kontinuirani fizički prostor primjereno opisati matematičkim simbolima, ili, općenitije, na pitanje o primjerenosti simboličkog opisa onog Realnog. 

Zenonov najdublji paradoks je u osnovi geometrijski. On zapravo pita imaju li krajnji sastojci neke dužine – dakle točke – duljinu različitu od nula, ili im je duljina stvarno nula. Dužina je očigledno beskonačno djeljiva; dakle ima beskonačno mnogo krajnjih sastojaka. Ako imaju bilo koju duljinu veću od nula, tad, suprotno našoj pretpostavci, duljina dužine mora biti beskonačna. Bilo koji niz koji se sastoji od pozitivnih veličina jednakog iznosa ima beskonačnu sumu. No, ako je pak duljina doslovno nula, tad će, suprotno našoj pretpostavci, duljina segmenta biti nula. (Wesley C. Salmon 1995.)

Stvar bi drugačije stajala kada bi se kontinuum mogao sastaviti iz nečega što samo nije kontinuirano i što bi utoliko bilo nedeljivo. Ali, kaže Zenon, tako nešto ne bi imalo veličinu, te ne bi moglo ni da poveća nešto čemu bi se dodalo, ni da smanji nešto od čega bi se oduzelo. To pak ne znači ništa drugo do da tako nešto ne bi nešto ne bi moglo da igra ulogu sastavnog dela. Zenon ovde očigledno ima u vidu ono što se smatra matematičkom tačkom… U generalizovanom vidu, Zenonov nam zaključak, a koji Aristotel naziva Zenonovim aksiomom, kaže da se entiteti viših dimenzija ne sastoje (to jest, ne mogu sastojati) iz entiteta nižih dimenzija. Slično tome što se linija ne sastoji iz matematičkih tačaka niti vreme iz neprotežnih trenutaka, ni ravan se ne sastoji iz linija niti telo iz ravni… U svakom slučaju, Zenonovi argumenti ozbiljno dovode u pitanje pokušaj da se o kontinuumu bilo koje vrste … govori kao o nečem struktuiranom. (Miloš Arsenijević 2003.)

Problem raz-člambe kontinuuma – što su dijelovi nečega što je jedno? – već je na geometrijskoj razini doveo do problema. Kako nešto što se sastoji od bez-duljinske točke može imati duljinu? Dodavanjem bilo koliko bez-duljinskih točaka ne možemo povećati duljinu dužine. A ako točka ima koliko god malu duljinu, tad bi beskonačni broj točaka na dužini značio i beskonačnu duljinu svake dužine. Ukratko, dužina se ne može sastojati od točaka; cjelina nije sastavljena od dijelova, nego su ”dijelovi” izdvojeni iz cjeline.

Ipak, (možda za razliku od azijskih mislioca kod kojih beskonačno nema nikakav odnos s konačnim?) analitički duh Grka nije naprosto odustao od toga da u konačnom simbolizmu zahvati to beskonačno. Čini se da upravo ti pokušaji čine ključnu značajku zapadnjačke matematike.

Rani Grci su stvorili matematiku kao pravu, samostalnu znanost koja počiva posve u sebi… Odlučujući argument je upućivanje na ono beskonačno, koje se nikad ne pokazuje u iskustvu niti to može, dok se u matematici čini neophodnim. Historijski je vrlo zanimljivo da tek grčka matematika eksplicitno upotrebljava beskonačno, dok ga cijela predgrčka matematika Babilonjana i Egipćana ne poznaje. Već samo to u presudnom smislu razlikuje grčku od predgrčke znanosti… Predgrčka ”algebra” u bitnom je računanje; literarna forma babilonskih ”zadataka” gotovo je ista kao forma naših današnjih matematičkih učbenika; radi se o zbirkama zadataka… Ono beskonačno se ne pojavljuje, ili se pojavljuje u vrlo prikrivenom obliku; u svakom slučaju ono nikad ne postaje problemom.

Uzme li se za usporedbu još i indijska i istočnoazijska matematika, ukoliko se čini netaknuta grčkim utjecajem, proizlazi isto: nema dokaza ni izričite primjene beskonačnoga, pa ni u obliku potpune indukcije (zaključka od n na n + 1).  

U takvoj je situaciji vrlo zanimljivo pratiti na koji se način ono beskonačno prvi put uvodi u ranoj grčkoj znanosti. Čini se da se ono najprije pojavilo u obliku neograničenih konvergirajućih procesa. Tekstualno je to prvi put posvjedočeno kod Zenona iz Eleje, Parmenidova učenika. Zenon nije matematičar, ali očito polazi od matematičkih situacija i razmišljanja koja su prije njega provodili drugi, vjerojatno pitagorovci… Nije nam namjera potpuno raspraviti ili čak riješiti te Zenonove paradokse za koje je Bertrand Russel jednom rekao da su ”immensly subtle and profound”, a što nije uspjelo ni svima onima koji su to pokušavali od Aristotelova doba. Ovdje nam je stalo upozoriti na to da je već prvo iskustvo beskonačnoga na koje nalazimo u matematici i filosofiji vodilo u paradokse. (Oskar Becker 1959.)

Svakako vrijedi pružiti pažnju Aristotelovom rješenju koje je određivalo matematičko mišljenje o beskonačnome sve do kraja 19. stoljeća. Naime, Aristotel razlikuje dva načina korištenja riječi ”biti” odnosno ”jest” – nešto jest ili kao ostvarenost (aktualno) ili kao mogućnost (potencijalno). Npr. neka bronca je potencijalno kip, i kipar kao djelatnik može udjeloviti/ostvariti/ozbiljiti tu mogućnost, čime će ona i aktualno (ostvareno, zbilja) biti kip. Tu razliku između aktualnog i potencijalnog Aristotel primjenjuje na pojam beskonačnoga, neograničenoga (apeiron).

U traženju rješenja za te probleme Aristotelu sada valja ući dublje u promišljanje same neograničenosti, onoga što je i kako uistinu jest apeiron. Da ‘neograničeno’ postoji za Aristotela je nesporno, budući da je ”jasno kako nastaju mnoge nemogućnosti ako ‘neograničeno’ naprosto ne postoji, jer će tada vrijeme imati neki početak i svršetak, veličine se neće dijeliti na veličine i broj neće biti neograničen”. Također, … neograničeno na određeni način za Aristotela i ne postoji, naime ne postoji primjerice neograničeno tijelo niti pak neograničeno mjesto. No kako onda biva ‘neograničeno’? Budući se ”biti jednom kazuje po mogućnosti [potencijalno], jednom po ostvarenosti [aktualno], a neograničeno nastaje ili dodavanjem ili diobom”, te da ”veličina [npr. dužina] nije po ostvarenosti [aktualno] neograničena, ali jest po diobi” [naime, može se neograničeno dijeliti], Aristotel konačno odgovara da ”preostaje dakle da neograničeno biva po mogućnosti [potencijalno].” Pri tome Aristotel naglašava da ”ne treba to biti po mogućnosti shvatiti kao: ako ovo može biti kip, to će i biti kip, pa će tako i ‘neograničeno’ biti zbiljnošću [aktualno]”. Dok kip preoblikovanjem bronce postaje zbiljnošću (aktualno), neograničeno nikada ne može biti zbiljsko, ostvareno.

Dakle, zaključuje Aristotel, ”… u neprekidnom je prisutan neograničeni broj polovica, ali ne ostvarenošću nego mogućnošću ”. Neograničena podijeljenost vremena (i prostora) u Zenonovim dokazima nije nešto što je stvarno sprovedeno, ozbiljeno, niti pak može biti ostvareno; veličine (prostorne i vremenske) neograničene su jedino u smislu neodređenosti broja mogućih dijelova kao rezultata samoga dijeljenja… Stoga Aristotel zaključuje kako ”onome koji pita mogu li se prelaziti neograničenosti, bilo u vremenu bilo u crti, valja reći kako dijelom mogu a dijelom ne”, naime, ”ako su one ostvarenošću onda ne mogu; dočim ako bivaju mogućnošću onda mogu”… Aristotel kaže kako se ”jedna stopa mogućnošću nalazi u dvije, u zbilji pak tek nakon što se razdijeli”; podijeljenost veličine (kako prostorne tako i vremenske) nije inherentno nego isključivo njeno akcidentalno svojstvo. Drugim riječima, u konačnome vremenu nemoguće je ostvariti neograničeno mnogo postaja (točaka) iako je prigodice moguće ostvariti svaku od njih; ono što postoji zbiljnošću uvijek je čitava neprekidnost (neizdijeljeni put, cijeli vremenski interval) koju se može prijeći, dakako, ako se jednostavno krene i ne stane. (Boris Kožnjak 2003.)

Aristotelovo je rješenje prihvatljivo jedino po cijenu prihvaćanja našeg sudioništva u zbivanju onog matematičkog. Početnu cjelovitost, ”bez-šavnost”, nerazdijeljenost, je doduše moguće u beskraj dijeliti simboliziranjem, ali to ne znači da se ta cjelina oduvijek zbilja ”sastojala” od tako nastalih dijelova. 

Moguće je, na primjer, neograničeno dijeliti neku dužinu ako se nastavi s dihotomijom, pri čemu izgleda da je ona kao cjelina od početka dana. Doduše, po Aristotelovom shvaćanju dužina se ne sastoji od točaka ili bilo kakvih nedjeljivih sastavnih dijelova (linearnih atoma), nego točke unutar dužine nastaju tek dijeljenjem, tj. prije dijeljenja su samo potencijalne i tek njime dolaze do aktualnosti. To se prema smislu – iako Aristotel o tome ne govori – može poopćiti tako da se ne uzimaju u obzir samo ”racionalne” točke koje nastaju dijeljenjem dužine na jednake dijelove, nego i one koje proizlaze iz neke točno definirane geometrijske konstrukcije, dakle, eventualno ”iracionalne” točke… Za principijelno shvaćanje ”kontinuiteta” vrlo je važno zapamtiti tu Aristotelovu koncepciju: da se dužina ne sastoji od točaka, već da su beskonačno mnoge točke ”u” njoj samo prema mogućnosti, u tom smislu da se mogu proizvesti dijeljenjem ili drugim matematičkim operacijama konstruktivnog tipa. (Oskar Becker 1959.)

Literatura:

1. Miloš Arsenijević, Vreme i vremena, Beograd 2003., str. 21.
2. Wesley C. Salmon, Zeno, u A Companion to Metaphysics, uredili J. Kim i E. Sosa, Oxford 1995., str. 518.-519., preveo: ja
3. Boris Kožnjak, O problemu gibanja: Zenon, Aristotel, Heisenberg, u Aristotel i aristotelizam, uredio D. Barbarić, Zagreb 2003., 96.-97.
4. Salmon, isto., str. 519.
5. Arsenijević, isto, str 22.
6. Oskar Becker, Veličina i granica matematičkog načina mišljenja, Zagreb 1998., str. 67.-70., preveo: Kiril Miladinov, izvornik: Oskar Becker, Grösse und Grenze der mathematischen Denkweise (1959.)
7. Kožnjak, isto, 104.-106.
8. Becker, isto, str. 80.-81.

§42. nesumjerljivost?

Da neka dotad vrlo uspješna znanstvena metoda može doći do granice gdje postaje upitna – to su puno stoljeća prije Heisenberga (§41.), već na samom početku zapadnjačke znanosti, spoznali pitagorovci. Njima se posred matematike kao onog ponajviše ograničenog/racionalnog/simboličkog otvorio ponor beskonačnog/iracionalnog/realnog. Dodatna je sličnost s prošlim zapisom to što je i ovdje središnji odnos kontinuuma i odjelitih (diskontinuiranih) veličina. U grčkoj se matematici taj odnos pojavio kao problem svođenja geometrije (koja se bavi kontinuiranim veličinama) na aritmetiku (koja se bavi odjelitim brojevima).

Pitagorovci su na osnovi svog otkrića kako pravilni brojčani omjeri duljina žica kod glazbala daju uhu ugodne tonove vjerovali da su pronašli metodu za spoznaju svega: sve se sastoji od brojeva i njihovih pravilnih omjera. Pri tom su, kao i svi ostali Grci, brojem smatrali isključivo ”prirodni” broj, dakle, mnoštvo ”jedinica”. Stoga su, između ostaloga, pretpostavljali da se svaka dužina mora sastojati od konačnog broja nekih nedjeljivih jedinica, koje bi i same imale neku duljinu.

Za pitagorovce jedinice posjeduju veličine. (W. K. C. Guthrie 1962.)

U sklopu svog pothvata matematičke konstrukcije svemira pitagorovci su držali da je crta sastavljena od točaka koje se odlikuju kolikoćom kao nužnim atributom egzistentnosti. Moralo ih je, dakle, biti konačno mnogo, premda nije bilo utvrđeno koliko konačno mnogo. Usprkos toj neodređenosti, dvije različite crte mogle su se uspoređivati po broju točaka. (…) Još [je] Demokrit na prijelazu iz 5. u 4. stoljeće dijelio pitagorovska stajališta da su crta, površina i tijelo izgrađeni iz nedjeljivih sastavnih dijelova, svojevrsnih atoma u geometrijskom području. Dapače, ta su stajališta poslužila Demokritu za elementarno razmatranje o određivanju volumena stošca. Atomističko učenje zahtijevalo je i atomističku matematiku. (Ivica Martinović 2007.)

Dakle, dužina (i matematička i fizička) sastojala bi se od konačnog broja nekih elementarnih duljina, naime ”jedinica”, koje bi bile dužinski ”atomi”/”čestice”.

Pitagora je držao da se odnosi čistih geometrijskih formi mogu svesti na brojevne odnose, što znači da se geometrija može svesti na aritmetiku. Pitagorejskim temeljem čitave matematike ostaje dakle broj… Kamen temeljac pitagorejske redukcije bila je pretpostavka da su svake dvije dužine su-mjerljive, tj. da uvijek postoji njihova zajednička mjera koja ima ulogu jedinice mjerenja pri uspostavljanju njihova brojevnog odnosa. Na primjer:

No sami pitagorejci su dokazali da stranica i dijagonala kvadrata nemaju takve zajedničke mjere. Evo i dokaza te činjenice, koji je značajan koliko i sama činjenica nesumjerljivosti. Ako dužine a i b imaju zajedničku mjeru, npr. a = 12j i b = 5j na prethodnoj slici, onda uzastopno oduzimanje dužina, koje počinje s  a i b, završava u konačnom broju koraka. U našem slučaju:

12j – 5j = 7j,     7j – 5j = 2j,     5j – 2j = 3j,     

3j – 2j = 1j,    2j – 1j = 1j,     1j – 1j = 0j.

Provedimo takvo uzastopno oduzimanje počevši od dijagonale AC i stranice AB zadanoga kvadrata.

  

Prvo oduzimanje, stranice AB od dijagonale AC, daje AC – AB = DC. Nadalje, trokut CDE je jednakokračan, pa je DC = DE. Trokuti AEB i AED su sukladni, pa je DE = BE. Slijedi da je DC = BE. Stoga drugo oduzimanje daje AB – DC = BC – BE = EC.

Sljedeće oduzimanje opet je oduzimanje stranice kvadrata od njegove dijagonale EC. Ono se u smanjenom mjerilu ponavlja na isti način te vodi na sljedeći još manji kvadrat, u kojem se opet ponavlja isti postupak, itd. Uzastopno oduzimanje dužina koje počinje dijagonalom i stranicom kvadrata nikad se ne završava jer generira beskonačni niz sve manjih kvadrata, u kojima se uvijek generira početna situacija. No kada bi dužine AB i AC imale zajedničku mjeru, postupak oduzimanja morao bi se završiti u konačnom broju koraka. Dakle, AB i AC nemaju zajedničku mjeru, tj. dijagonala i stranica kvadrata nisu sumjerljive.

Uočimo da je nesumjerljivost mogao dokazati samo teorijski um koji gleda savršene forme ili ideje. Dvije materijalne dužine možemo usporediti samo približno, tj. do neke mjere točnosti, pa svaka dužina kraća od te mjere točnosti praktički postaje zajedničkom mjerom tih dužina samom činjenicom da do nje ne dopire točnost praktičkog mjerenja. Nesumjerljivost stranice kvadrata i njegove dijagonale dokazuje se time što se teorijsko ”mjerenje” sve manjih kvadrata ponavlja stalno na isti način, pa se zahvaljujući tome nikad ne završava. Dakle, u dokazu nesumjerljivosti pojavljuje se beskonačni niz kvadrata koji sigurno prelazi granicu vidljivog, a i sama mogućnost njegove materijalizacije postaje krajnje upitnom. Potpuno je jasno da se dokaz bavi idejom kvadrata [a ne nekim materijalnim/fizički-postojećim kvadratom, op. d.].

Pitagorejska težnja aritmetizaciji geometrije ozbiljno je uzdrmana otkrićem nesumjerljivosti. (Zvonimir Šikić 1995.)

Otkriće nesumjerljivosti dijagonale kvadrata s njegovim stranicama … udara na ranije pitagorovsko gledište prema kojem su ”stvari brojevi”, odnosno da su geometrijski likovi, te stoga u konačnici i fizički svijet, utemeljeni na nizu cijelih brojeva. Nikakav omjer između cijelih brojeva ne može biti temelj za konstrukciju [jednakostraničnog] pravokutnog trokuta. (W. K. C. Guthrie 1962.)

Te se veličine nazivaju i ”iracionalnima” zato što ratio, između ostaloga, znači i omjer; duljina dijagonale kvadrata je √2 puta duža od duljine stranice kvadrata, a √2 ne možemo napisati kao omjer (ratio) dva prirodna broja. Za pitagorovce je to otkriće nesumjerljivoga/iracionalnoga bilo toliko potresno da je, prema predaji, čuvano u tajnosti, jer je prijetilo urušavanjem njihove koncepcije kosmosa kao sklada brojeva.

Hipas iz Metaponta … je odao tajnu ”sumjerljivosti nesumjerljivog”, to jest otkriće prve iracionalne veličine… Stoga je navodno bio isključen iz [pitagorovske] zajednice, a njegovi bivši drugovi podigli su mu grob kao da je umro. (Jean-Francois Mattei 1983.)

Platonova Akademija, nasljeđujući uvelike pitagorovce, upustila se u dublje istraživanje tako otvorenog ponora.

Prema tradiciji … natpis iznad vrata Platonove Akademije kaže: ”Neka ne uđe nitko tko ne poznaje geometriju”. Ne sumnjam da značenje ovog natpisa nije samo u isticanju važnosti matematičkih studija, nego da on znači: ”Aritmetika (tj. preciznije, pitagorovska teorija broja) nije dovoljna; morate znati geometriju!”. Pokušat ću skicirati razloge koji su me uvjerili da druga fraza sažima jedan od Platonovih najvažnijih doprinosa znanosti. …

Prema danas općeprihvaćenom uvjerenju, rano pitagorovsko bavljenje geometrijom koristilo je metodu dosta sličnu onoj koja se danas naziva ”aritmetizacija”. Geometrija je bila shvaćena kao dio teorije cijelih brojeva (ili ”prirodnih” brojeva, tj. brojeva sačinjenih od monada ili ”nedjeljivih jedinica”) i njihovih ”logoi”, tj. njihovih ”racionalnih” omjera. Npr. pitagorovski pravokutni trokuti bili su trokuti sa stranicama u takvim omjerima. (Primjeri su 3:4:5; ili 5:12:13.) … Otkriće iracionalnosti kvadratnog korijena iz dva … uništilo je pitagorovski program ”aritmetizacije” geometrije i s tim, izgleda, vitalnost samog pitagorovskog reda. Čini se da predaju po kojoj je to otkriće u početku čuvano u tajnosti podupire činjenica da Platon u početku iracionalno još uvijek naziva arreton, tj. tajnim neizrecivim misterijem (kasniji termin je ”nesumjerljivost”.)  …

Izgleda da je slom pitagorovskog programa, tj. aritmetičke metode geometrije, doveo do razvoja euklidovske aksiomatske metode koja je, s jedne strane bila planirana da spasi od propasti ono što se moglo spasiti (uključujući metodu racionalnog dokaza) i, s druge strane, da prihvati nesvodivost geometrije na aritmetiku. Pretpostavivši sve to, izgleda nam vrlo vjerojatno da je Platonova uloga u prelasku od starije pitagorovske metode ka Euklidovoj bila naročito važna – u stvari, da je Platon bio jedan od prvih koji je razvio specifično geometrijsku metodu težeći ka spašavanju onoga što se može spasiti od propasti pitagorizma… Euklidovi Elementi nisu učbenik geometrije nego, prije, posljednji pokušaj platonske škole da riješi ovu krizu rekonstrukcijom čitave matematike i kosmologije na geometrijskoj osnovi, radi sistematskog bavljenja problemom iracionalnosti, i da bi tako izvršila inverziju pitagorovskog programa aritmetizacije. Platon je prvi zamislio program koji je kasnije ostvario Euklid: on je izabrao geometriju kao novu osnovu i geometrijsku metodu proporcije… i postao osnivač moderne znanosti – znanosti Kopernika, Galileija, Keplera i Newtona.

Sve to sugerira da je upozorenje protiv onih neupućenih u geometriju … povezano s vjerovanjem da je geometrija od veće važnosti nego aritmetika. Zauzvrat, to objašnjava zašto se Platon … ”proporcionalnu jednakost” … smatrao aristokratskijom nego demokratsku aritmetičku ili numeričku jednakost. (Karl Popper 1945.)

Naravno, kod Platona ”demokratsko” ima negativan ton, a ”aristokratsko” pozitivan. On je numeričku jednakost ”jedinica” smatrao ”demokratskom” jer se raznolikost umjetno (jednom apriornom odlukom da sve mora biti onako kako propisuje teorija) svodi na jednakost, tako da se sve razlike svode na količinske razlike, na broj ”jedinica” (kao u demokraciji na broj glasova). Uvid da je takva ”racionalnost” nemoguća već u geometriji (a kamo li na složenijim, življim područjima) ipak ne znači nužno prepuštanje nemislivom kaosu. Jer postoje i manje očite proporcije koje uspostavljaju odnose među raznolikostima bez da ih nasilno izjednačavaju, i takve ”geometrijske” proporcije Platon smatra ”aristokratskima”.

Te proporcije su Grci nazvali logos-ima (”logoi”), i u njima je, zapravo, otkriveno ono što danas nazivamo iracionalnim brojevima (to su, npr. duljina dijagonale jediničnog kvadrata √2, ili opseg kruga jediničnog promjera π itd., koji se ne mogu napisati kao omjer dva prirodna broja). No, Grci su takve duljine odbijali smatrati brojevima.

U historičara i interpreta grčke matematike vlada opće suglasje o tome da je za nju presudan događaj bio otkriće iracionala, tj. linearne nesumjerljivosti. To čudesno otkriće smjesta je zaprijetilo rušenjem stare pitagorovske postavke da je sve broj, postavke koja, čini se, počiva na uvjerenju o gospodstvu i vladavini reda, forme i oblika u cjelini svega. Nesumjerljiva dužina, ona koja se numerički nikako ne da izraziti, biva nazvana arreton, dakle ono neizrecivo, neiskazivo, i alogon, u značenju nemislivog, iracionalnog.

Međutim, početno iznenađenje ubrzo dovodi do spoznaje da crtu čijoj se duljini ne može pridati numerička vrijednost treba mjeriti njezinim kvadratom. Pojam logos, koji je do tada bio primjenjivan jedino na brojeve, morao je sada s tim u skladu biti preformuliran tako da u sebe može uključiti i te nesumjerljive veličine. Posao konstruiranja i klasificiranja samih iracionala pomoću iznova protumačenog pojma logos izveli su Teetet i Eudoks, u čijem će promišljanju logos konačno u potpunosti steći novo značenje odnosa (ratio) dvaju brojeva, odnosno dužina…

Dakle, hoće li se tražiti grčku osnovu za moderni pojam broja, onda to nije ni ”broj” (arithmos) grčke aritmetike ni ”veličina” (megethos) grčke geometrije, nego upravo sam taj ”odnos” (logos), koji je načelno neutralan spram razlike aritmetike i geometrije i koji omogućava, štoviše, traži i zahtjeva njihovo stapanje i sjedinjenje.

No ovdje je grčka matematika, da tako kažemo, stala na pola puta. Grci nikad nisu učinili taj korak da tim logos-ima, dakle brojno-duljinskim odnosima, koji omogućuju neizravno ”razumijevanje” iracionala, pridaju samostalnu egzistenciju [kakvu se pridavalo prirodnim brojevima, op. d.].

S tim zajedno ide i pomno čuvana stroga razdvojenost aritmetike i geometrije. Aritmetika je područje čiste konačnosti, dok u geometriji pak na neki način jest i ono beskonačno. Ili, kako će to izraziti Proklo, komentirajući Euklida: ”U geometriji uopće nema onog najmanjeg”, nastavljajući: ”geometriji su svojstvene postavke o iracionalnom (to alogon), jer iracionalno ima svoje mjesto samo tamo gdje je moguća beskonačna djeljivost.”

U nastojanju da pod svaku cijenu očuvaju i osiguraju konačnost barem u aritmetici, Grci su dospjeli i do nama danas zacijelo više nego začudne postavke, naime da jedinica uopće nije broj. Euklidova definicija broja glasi: ”Broj je mnoštvo sastavljeno od jedinica”… Konsekvenca toga je da brojevi, ako su mnoštvo sastavljeno od jedinica, mogu biti u njih i razloženi. Ali sama jedinica kao jedinica ne može biti dalje razložena.  (Damir Barbarić 1985.)

Ostavši tako ”na pola puta”, čuvajući pitagorovski pojam broja, ali i nesvodivost geometrije na njega, Akademija se ipak ustezala ukinuti bitnu razliku između geometrije i aritmetike, čime bi doista zasnovala ”modernu znanost Galileija i Newtona” (kao što je to skoro dvije tisuće godina kasnije učinio Descartes), mada je, svakako, pripravila put za to.  

No, možda to ostajanje ”na pola puta” nije tek neki manjak dovitljivosti ili intelektualne hrabrosti akademičara, nego počiva na nečem drugom? Možda ono slijedi iz nekog osobitog shvaćanja odnosa između konačnosti i beskonačnoga (peras i apeiron) kao ”prave mjere” (§18.)? Takvu slutnju potiče neobična činjenica da ”tajna nesumjerljivosti” koju je pitagorovac Hipas otkrio neiniciranima nije nesumjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, kao što bi se očekivalo budući da je to najjednostavniji primjer, nego je povezana s, također ”iracionalnim”, ”zlatnim rezom”.   

Temeljno, za grčku matematiku tako karakteristično i kobno otkriće iracionalnoga … se može datirati u 5. stoljeće… Jer u Platonovu se dialogu Teetet, koji je posvećen uspomeni na rano preminulog matematičara iz Platonove škole dokazi za iracionalnost kvadratnih korijena od 3, 5, 7,…, 17 pripisuju Teodoru iz Kirene… Na tom je mjestu isključeno da bi se Teetetu odreklo neko matematičko postignuće koje mu zapravo pripada. Doista se, dakle, treba vratiti do Teodora, čije bi se djelovanje moglo datirati oko 430. godine. A on je pružio već čitav niz dokaza iracionalnosti, dakle ne nalazi se na početku otkrivanja ne-racionalnih odnosa, tako da se ono treba pripisati još ranijem dobu.

Sporno je na kojem se konkretnom primjeru prvi put primijetila i zatim dokazala uzajamna nemjerljivost dviju geometrijski ili drukčije definiranih veličina. Dok se prije kao samorazumljivo pretpostavljalo da se najprije spoznala inkomenzurabilnost [nesumjerljivost] stranice i dijagonale kvadrata, dakle iracionalnost √2, … [čini se da] se prvo primijetila nesumjerljivost dijagonale pravilnog peterokuta u odnosu na stranicu, i da ju je otkrio pitagorovac Hipas… Odnos između stranice peterokuta i njegove dijagonale je odnos ”stalnog dijeljenja” koji se kasnije nazivao ”zlatnim rezom”. Taj je odnos osebujan po tome što pri uzajamnom mjerenju dijelova dužina, pri ”uzastopnom oduzimanju”, proizlazi najjednostavniji mogući brojevni niz, naime 1, 1, 1,…

U slučaju pravilnog peterokuta ucrtavanjem dijagonala nastaje pentagram koji u sebi ponovno sadrži peterokut s pentagramom u sebi, tako da se lik u unutarnjosti beskonačno nastavlja. Sada se jedna strana peterokuta, recimo DE, može mjeriti dijagonalom AC koja joj je paralelna iz razloga simetrije. Četverokut ED’CD je paralelogram, dakle CD’=DE. Dakle, stranica DE ili CD’ jedanput je sadržana u dijagonali CA, a kao ostatak ostaje AD’. Mjeri li se AD’ na AE’ (koja je također jednaka stranici DE), ona je opet jedanput sadržana i kao ostatak imamo E’D’. No sada je E’D’ stranica unutarnjeg peterokuta A’B'C’D'E’, a njegova dijagonala C’A’ jednaka je D’A (jer je AD’A'C’ paralelogram). Prema tome ponavlja se isti odnos i postupak ”uzajamnog oduzimanja” beskrajno se nastavlja. Taj je zanimljiv rezultat morao izazvati pozornost ranih grčkih matematičara. (…) 

Pri takvim se razmišljanjima uočava suprotnost broja (arithmos) i kontinuirane veličine (megethos). Ova druga je neograničeno djeljiva prepolavljanjem a broj to nije. (Oskar Becker 1959.)

Literatura:

1. W. K. C. Guthrie, Povijest grčke filozofije (knjiga I.), Zagreb 2005., str. 195., preveli: Laura Blažetić, Juraj Bubalo, Branko Malić, izvornik: W. K. C. Guthrie, A History of Greek Philosophy (1962.)
2. Ivica Martinović, Neprekidnina i beskonačnina od predsokratovaca do Newtona, predavanje 2007., link
3. Zvonimir Šikić, Filozofija matematike, Zagreb 1995., str. 19.-20., link       
4. Guthrie, isto, str. 219.
5. Jean-Francois Mattei, Pitagora i pitagorovci, Zagreb 2009., str. 31., preveo: Marko Gregorić, izvornik: Jean-Francois Mattei, Pythagore et les pythagoriciens (1983.)
6. navod prema: Karl R. Poper, Otvoreno društvo i njegovi neprijatelji Tom I, Beograd 1993., str. 327.-329., 421., preveo: Branimir Gligorić, izvornik: Karl R. Popper, The Open Society and Its Enemies (1945.)
7. Damir Barbarić, K budućem mišljenju, Zagreb 2005., str. 107.-108.
8. Oskar Becker, Veličina i granica matematičkog načina mišljenja, Zagreb 1998., str. 74.-77., 81., preveo: Kiril Miladinov, izvornik: Oskar Becker, Grösse und Grenze der mathematischen Denkweise (1959.)