§47. nadilaženje granica znanosti?

Započnimo izvatkom iz jednog od najslavnijih filosofskih članaka u zadnjih dvadesetak godina.

Mnogi prirodnjaci, a pogotovo fizičari … se drže dogme koju je nametnula postprosvjetiteljska hegemonija nad zapadnim intelektualnim svjetonazorom, a koja se može sažeti u sljedeće tvrdnje: postoji izvanjski svijet čija svojstva su neovisna o pojedinom ljudskom biću i dakako čovječanstvu kao takvom; ta su svojstva izražena “vječnim” fizikalnim zakonima; ljudska bića mogu steći pouzdano, iako nesavršeno i provizorno znanje o tim zakonima usavršavajući “objektivne” procedure i epistemološke prigovore koje propisuje (takozvana) znanstvena metoda. Međutim, značajni konceptualni pomaci u znanosti dvadesetoga stoljeća potkopali su kartezijansko – newtonovsku metafiziku, revizionističke studije povjesničara i filosofa znanosti produbile su sumnju u njenu vjerodostojnost i, na kraju, feminističke i poststrukturalističke kritike demistificirale su skriveni sadržaj glavnog toka zapadne znanstvene prakse, otkrivajući ideologiju dominacije skrivenu iza fasade “objektivnosti”. Postaje sve očitije da je fizikalna “realnost” konačno društveni i lingvistički konstrukt; da je znanstvena “spoznaja” daleko od objektivnosti i da odražava dominantne ideologije i odnose moći u kulturi koja ju je proizvela; da se od onoga za što znanost tvrdi da je istina ne može odvojiti breme teorije i autoreferencijalnosti; i, posljedično, da diskurs znanstvene zajednice, unatoč nesumnjivoj vrijednosti, ne može tražiti povlašteni epistemološki status prema protuhegemonističkim narativima koji izviru iz odcijepljenih ili marginaliziranih zajednica…

Moj je cilj ovdje produbiti tu analizu za još jedan korak, uzimanjem u obzir suvremenog razvoja u kvantnoj gravitaciji, naprednoj grani fizike koja znači sintezu i nadomjestak Heisenbergove kvantne mehanike i Einsteinove opće relativnosti. Kod kvantne gravitacije, kao što ćemo vidjeti, prostorno-vremenska platforma prestaje postojati kao objektivna fizikalna stvarnost, geometrija postaje relacijska i kontekstualna, a temeljne konceptualne kategorije prijašnje znanosti – uključujući i samo postojanje – postaju podložne promišljanju i relativizaciji. Ova konceptualna revolucija, tvrdim, ima dalekosežne implikacije na sadržaj buduće postmoderne i oslobađajuće znanosti… U Einsteinovoj općoj teoriji relativnosti (1915.) pojavljuje se radikalni konceptualni proboj: prostornovremenska geometrija postaje kontingentna i dinamična, enkodirajući se u gravitacijskom polju. Matematički, Einstein prekida s tradicijom koja seže skroz do Euklida (a koja se i danas predaje srednjoškolcima!) i umjesto nje primjenjuje neeuklidovsku geometriju koju je razvio Riemann. Einsteinove jednadžbe visoko su nelinearne i zato ih tradicionalno obučeni matematičari tako teško rješavaju. Newtonova gravitacijska teorija korespondira s grubim (i konceptualno krivo usmjerenim) sakaćenjem Einsteinovih jednadžbi kod kojeg je nelinearnost jednostavno ignorirana. Einsteinova opća relativnost stoga usvaja sve pretpostavljene uspjehe Newtonove teorije, ali ih i daleko nadmašuje predviđanjem radikalno novih pojava koje izravno proizlaze iz nelinearnosti… Dakle, opća nas relativnost primorava na radikalno novo i protuintuitivno poimanje prostora, vremena i kauzalnosti; stoga ne iznenađuje velik utjecaj koji je imala ne samo na prirodne znanosti, nego također i na filosofiju, književnu kritiku u društvenim znanostima. Naprimjer, na čuvenom simpoziju pred tri desetljeća, Les Langages Critiques et les Sciences de l’Homme, Jean Hyppolite postavio je pronicljivo pitanje o Derridinoj teoriji strukture i znaka u znanstvenom diskursu: ”Kada promatramo, na primjer, strukturu određene algebarske konstrukcije (cjeline), gdje je središte? Je li središte spoznaja o općim pravilima koja nam, nakon prilagodbe danom slučaju, omogućuju razumijevanje međuigre elemenata? Ili su to određeni elementi koji uživaju posebne privilegije unutar cjeline?… Kod Einsteina, primjerice, vidimo kraj neke vrste privilegiranosti empirijskog dokaza. I u toj povezanosti vidimo kako se pojavljuje konstanta koja je kombinacija prostor-vremena, koja ne pripada ni jednom od eksperimentatora, ali koja, na neki način, dominira cijelim konstruktom; ta predodžba konstante – nije li to središte?” Derridin odgovor tiče se same biti klasične opće relativnosti: Einsteinova konstanta nije konstanta, nije središte. Ona je sam koncept varijabilnosti – ona je, napokon, koncept igre. Drugim riječima, ona nije koncept nečega – središta iz kojeg promatrač može ovladati poljem – nego koncept igre sam…

Matematičkim pojmovima, Derridino zapažanje odnosi se na invarijantnost Einsteinove jednadžbe polja pod difeomorfizmima nelinearnog prostor–vremena. Ključna točka je u tome da ova invarijantna grupa “djeluje tranzitivno”: to znači da se bilo koja točka u prostor-vremenu, ukoliko uopće postoji, može transformirati u neku drugu. Na taj način beskonačno dimenzionalna invarijantna grupa podriva razliku između promatrača i promatranog: Euklidov π i Newtonov G, za koje se prethodno držalo da su konstantni i univerzalni, sada se shvaćaju u njihovoj neizbježivoj povijesnosti; a navodni promatrač postaje fatalno decentriran, isključen od svake veze s točkom prostor-vremena koju sama geometrija više ne može definirati…

Ono što je nepoznato većini outsidera jest da je teorijska fizika doživjela značajnu transformaciju – iako još ne i pravi kuhnovski pomak u paradigmi – u sedamdesetima i osamdesetima: tradicionalnim oruđima matematičke fizike (realna i kompleksna analiza), koja se bave prostornovremenskim kontinuumom samo lokalno dodani su topologijski pristupi (preciznije, metode iz diferencijalne topologije) koje vrijede za globalnu (holističku) strukturu univerzuma. Ovaj trend može se vidjeti i kod teorija struna i superstruna. Tih godina napisane su i brojne knjige i pregledni članci o “topologiji za fizičare”. Otprilike u isto vrijeme Jacques Lacan ističe ključnu ulogu diferencijalne topologije u društvenim i psihološkim znanostima: ”Ovaj dijagram [Möbiusov pojas] može se smatrati bazom neke vrste esencijalnog upisivanja na izvoru, u čvoru koji konstituira subjekt. To seže mnogo dalje nego što biste mogli pomisliti na prvi pogled, zbog toga što možete tražiti vrstu površine koja može primiti takvo upisivanje. Možda možete vidjeti da je sfera, taj stari simbol potpunosti, neprikladan…” Kao što je Lacan naslućivao, postoji tijesna veza između vanjske strukture fizičkog svijeta i njegovog unutarnjeg psihološkog predstavljanja kroz teoriju čvora… Analogna topološka struktura pojavljuje se kod kvantne gravitacije, ali ukoliko su uključeni kontinuumi višedimenzionalni prije nego dvodimenzionalni, više homologijske grupe također igraju ulogu. Ti višedimenzionalni kontinuumi više nisu prikladni za prikaz u uobičajenom trodimenzionalnom kartezijanskom prostoru: na primjer, projektivni prostor RP3, koji nastaje iz obične 3-sfere identifikacijom antipoda, zahtijevao bi euklidovski gledano barem 5 dimenzija. Unatoč tome, više homologijske grupe možemo objasniti, barem približno, preko prikladne višedimenzionalne (nelinearne) logike…

U zadnja dva desetljeća razvila se među kulturalnim teoretičarima opširna rasprava o naravi modernističke naspram postmodernističke kulture; u zadnjih nekoliko godina ovaj dijalog posebnu pažnju posvećuje posebnim problemima koje nameću prirodne znanosti… Riječima Andrewa Rossa, potrebna nam je znanost “koja će biti javno odgovorna i od neke koristi progresivnim interesima”… Sadržaj i metodologija postmoderne znanosti pružaju, dakle, snažnu intelektualnu podršku progresivnome političkom projektu, shvaćenom u najširem smislu: nadilaženju granica, rušenju barijera, radikalnoj demokratizaciji svih aspekata društvenog, ekonomskog, političkog i kulturnog života. Jedan dio ovog projekta mora uključivati i stvaranje nove i uistinu progresivne znanosti koja bi služila takvom potencijalnom demokratiziranom društvu… Poučavanje znanosti i matematike treba očistiti od autoritarnih i elitističkih karakteristika… Napokon, sadržaj bilo koje znanosti suštinski je sputan jezikom unutar kojeg se formuliraju diskursi; zapadnom prirodnom znanošću još od Galilea dominira jezik matematike. Ali čije matematike? Ovo pitanje je fundamentalno, jer niti logika niti matematika ne mogu izbjeći “kontaminaciju” društvenim.” A, kako su feminističke misliteljice često isticale, u sadašnjoj kulturi ta kontaminacija je prvenstveno kapitalistička, patrijarhalna i militaristička: “matematiku se slika kao ženu kojoj je u prirodi želja za bivanjem osvojenim Drugim.” Dakle, oslobađajuća znanost ne može se oformiti bez suštinske revizije matematičkog kanona… (Alan D. Sokal 1996.)

Ako vam ovaj izvadak nalikuje na ono što inače ovdje možete čitati, to nije nimalo dobra vijest. Naime, taj je članak bio podvala koja je htjela i uspjela pokazati kako dio uvaženih američkih akademskih filosofa angažiranih na ”lijevoj” kritici (prirodnih) znanosti (a koja nastoji raskrinkati društvena uvjetovanja znanosti) ne razlikuje suvisao tekst o znanosti od besmislenog blebetanja.

 Početkom 1995. izdavači časopisa Social Text, za mnoge vodećeg časopisa kritičke teorije, dovršavali su poseban broj … koji je izlazio kao odgovor na mnoge nedavne pokušaje agresivne obrane znanosti i sumnje u sam integritet pristupa i kritičkog prosuđivanja znanosti kroz ‘kulturna istraživanja’…

Radi obrane znanosti … mobilizirana je široka koalicija prirodnih i društvenih znanstvenika i drugih intelektualaca … [koja je] ustvrdila da sociolozi, povjesničari, filosofi i feministice koji djeluju na području ‘proučavanja znanosti i tehnologije’ predstavljaju veliku prijetnju znanosti. Napali su društvene teorije o znanosti, izjavili … da je kritika znanosti ‘obična besmislica’, većinu kritičara znanosti ‘šarlatani’… [te] da je ‘akademska ljevica’, ‘veliki i utjecajni odsječak američke akademske zajednice’, u suštini protiv znanosti. Temelj ovog protuznanstvenog neprijateljstva nije samo odbojnost ljevice prema primjenama na koje znanosti i tehnologiju prisiljavaju političke i ekonomske snage (čak je i znanstvenicima žao zbog tih zloupotreba znanosti i tehnologije). To se neprijateljstvo ‘proteže na društvene strukture preko kojih se znanost institucionalizira i na mentalitet koji se, s pravom ili ne, smatra svojstvenim za znanstvenike. Još začudnije, postoji otvoreno neprijateljstvo prema sadašnjem obujmu znanstvenih spoznaja i prema pretpostavci, koja bi vjerojatno mogla biti zajednička svim obrazovanim ljudima, da su znanstvene spoznaje prihvatljivo pouzdane i da počivaju na ispravnoj metodologiji’. Nazvali su to neprijateljstvo ‘srednjevjekovnim’, jasnim odbijanjem ‘najmoćnije baštine Prosvjetiteljstva’ i poricanjem ‘napretka’…

Social Text je na to gledao tek kao na senzacionalističke priče o protuznanstvenom pokretu … koji bi trebao prestrašiti svakoga tko se usuđuje sumnjati u rodom opterećene pretpostavke znanosti, kapitalističke temelje znanstvenog empirizma i razarajućeg djelovanja znanosti i tehnologije na društvo i okoliš. ”To nije prvi put da se podiže sveopća galama zbog opadanja autoriteta znanosti ili njezine svestrane ugroženosti od snaga iracionalizma”, pisao je Andrew Ross, guru pokreta kritične znanosti, u svojem uvodu tome broju. Znanost je postala nova religija, tvrdio je Ross, a upitnost znanosti smatra se jasnom opasnošću za civilizaciju. S obzirom na to da je danas znanost potpuno kompromitirana, industrijalizirana i komercijalizirana, ”nije teško razumjeti militantni … gnjev usmjeren na one koji otkrivaju kako je hram izgrađen i kako se održavaju obredi u njemu – na konstrukcionističku akademsku ljevicu.”

Upravo kad je rad na časopisu bio pri kraju, podnesen je novi članak, a napisao ga je Alan D. Sokal, profesor fizike na NYU. Članak se uredno pojavio u broju proljeće/ljeto 1996. časopisa Social Text.

Čak i površan kritičan pregled Sokalovog članka lako je mogao pobuditi sumnje izdavača. Članak sadrži tvrdnju da bi sjedinjenje trenutno nesuglasnih teorija kvantne mehanike i opće relativnosti stvorilo postmodernu ‘osloboditeljsku’ znanost. On sadrži neke predivno blesave tvrdnje. Na primjer, kaže da je broj π daleko od toga da bude konstanta i opći pojam, zapravo uvjetovan položajem promatrača i time podložan ‘neizbježnom povijesnom značenju’. Relativizam koji ovaj članak iznosi prelazi granice ludila… Spretnim prekrivanjem tih apsurdnih tvrdnji citatima postmodernih stručnjaka kao što su Derrida, Lyotard i Lacan, te još laskavijim citatima izdavača časopisa Social Text, Sokal je uspio progurati svoju parodiju. Podvalu je odmah objavio, a skandal su na svojim naslovnicama objavile mnoge novine. (Ziauddin Sardar 2000.)

Tiče li se taj (doduše vrlo zabavan) skandal unutar dijela američke akademske zajednice jednoga ovakvoga autodidaktičkog Uvoda u filosofiju? Jedva. Ipak, nakon što nas je Luka u prošlom zapisu izložio neuobičajenoj strogosti, pomislih da bi se, radi ravnoteže, bilo zgodno malo pozabaviti tračevima. Osim toga, podsjećam, u zadnjim zapisima slijedimo mig da su ”petlje”, ”pukotine”, ”aporije” u najegzaktnijim vidovima simboličke djelatnosti, znanostima, mjesta očitovanja onog Realnog koje tražimo. No, da bismo našli takva mjesta, nužno je da razumijemo te znanosti – inače ćemo ”rascjepe” i ”proturječja” vidjeti i tamo gdje ih nema (a takvi umišljaji zacijelo nisu susreti s Realnim). Na primjer Žižek ovako objašnjava to da Realno nije nešto ”po sebi” (supstancijalno) postojeće što proviruje kroz te pukotine, nego su same pukotine to Realno:

U vezi pojma Realnog kao supstancijalne Stvari, Lacan postiže obrat koji se može rasvijetliti prijelazom sa specijalne na opću teoriju relativnosti. Dok specijalna teorija relativnosti već uvodi pojma zakrivljenog prostora, ona poima tu zakrivljenost kao učinak tvari: prisutnost tvari zakrivljuje prostor, odnosno, samo prazan prostor ne bi bio zakrivljen. Prijelazom na opću teoriju, uzročnost je obrnuta: daleko od toga da uzrokuje zakrivljenost prostora, tvar je njen učinak, i prisutnost tvari znači da je prostor tu zakrivljen. Što to ima s psihoanalizom? Mnogo više nego bi se moglo činiti: poput jeke Einsteina, za Lacana ono Realno – Stvar – nije toliko troma prisutnost koja zakrivljuje prostor simboličkoga (uvodeći procjepe i nedosljednosti u njega), nego, prije, učinak tih procjepa i nedosljednosti. (Slavoj Žižek 2006.)

Nevolja je što ovo nije nimalo bolje od Sokalovih parodija: u specijalnoj relativnosti nema nikakve zakrivljenosti prostora, jer se ona bavi situacijama u kojima je gravitacija zanemariva. U općoj relativnosti se doista pojavljuje zakrivljenost prostora uslijed tvari. Ali navodno presudni ”prijelaz” o kojem govori Žižek otprilike je analogan prijelazu s odgovora ”kokoš” na odgovor ”jaje” u slavnome pitanju o njihovom kauzalnom prioritetu. Zakrivljuje li masa prostor ili sama zakrivljenost prostora znači masu – to razlikovanje je fizikalno irelevantno. Sličnu neodgovornost Žižek pokazuje i ovdje:   

… jouissance ”kao takva” je višak, a njezin je paradoks jednak onome elektrona u elementarnoj fizici čestica (masa svakog elementa u našoj realnosti sastavljena je od njegove mase u mirovanju plus višak koji stvara ubrzanje njegova kretanja; međutim masa elektrona u mirovanju jednaka je nuli te se njegova masa sastoji samo od viška koji stvara ubrzanje njegova kretanja, kao da imamo posla s nekim ništa koje stječe neko varljivo bivstvo time što se magično zavrti u vlastiti višak). (Slavoj Žižek 2001.)

Svaki gimnazijalac bi trebao znati da elektron ima masu mirovanja i rješavati zadatke s tom masom. Kad Žižek tu vidi nepostojeći ”paradoks”, onda i ”Realno” koje se pri tom navodno očituje nije nego umišljaj.

Nije li nužno da filosofi koji se ne specijaliziraju za znanost nego su zainteresirani za cjelinu svega zapravo ne mogu suvislo koristiti primjere iz znanosti, budući da ih zbog specijalizacije znanosti ne mogu razumjeti? Čini se da nije – jedan drugi filosof, kojega se također iz krugova bliskih znanosti sumnjiči i za anti-znanstvenost i za kvazi-mudru zloporabu pojmova, ipak je mogao suvislo i točno sažeti bitno iz njemu suvremenoga znanstvenog prevrata:

Zanimanje za to, što jest vrijeme, ponovno je u sadašnjici potaknuto razvitkom fizikalnih istraživanja u njihovu promišljanju osnovnih načela u njima izvršnog shvaćanja i određenja: mjerenju prirode u prostorno-vremenskom sustavu odnosa. Sadašnje stanje tog istraživanja fiksirano je u Einsteinovoj teoriji relativnosti. Nekoliko stavova iz nje: Prostor po sebi nije ništa; nema apsolutnog prostora. On egzistira samo na način u njemu sadržanih tijela i energija. (Jedan stari Aristotelov stavak): Ni vrijeme nije ništa. Ono postoji samo zbog događaja koji se u njemu stječu. Nema apsolutnog vremena ni apsolutne istovremenosti. – Od onog destruktivnog u toj teoriji lako se previđa ono pozitivno, da upravo ona dokazuje invarijantnost jednadžbi koje opisuju prirodne događaje prema proizvoljnim transformacijama. (Martin Heidegger 1924.)

Na kraju, vratimo se slučaju Sokal. Ako je on uzdrmao jedan dio akademske zajednice, što bi mogao biti protuudarac? Je li, npr. moguće ne razumjeti znanost a objaviti članak u prirodoslovnom časopisu? Razgovarah svojedobno o tome s jednim prijateljem, i njegova je zamisao bila pomoću računala tražiti pravilnosti u javno dostupnim sekvencama DNA, i onda pokušati objaviti članak o tome u nekom časopisu. Kad bismo to uspjeli, samim računanjem a bez ikakvog razumijevanja biologije objaviti prirodoznanstveni članak iz tog područja, to bi pokazalo da je Heidegger (barem dijelom) u pravu kad kaže ”znanost ne misli, znanost računa”. Naravno, to je ostala tek zamisao, ali me, s obzirom na nju, ipak obradovala vijest o robotu-znanstveniku.  

Literatura:

1. Alan Sokal, Nadilaženje granica: prema transformativnoj hermeneutici kvantne gravitacije, časopis Diskrepancija sv. III, br. 5.-6., prosinac 2002., str. 65., preveo: Sven Marcelić, link, izvornik: Alan Sokal, Transgressing the Boundaries: Torward a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity (1996.) link
2. Ziauddin Sardar, Thomas Kuhn i ratovi znanosti, Zagreb 2001., str. 7.-11., prevela: Ljerka Pustišek, link, izvornik: Ziauddin Sardar, Thomas Kuhn and Science Wars (2000.)
3. Slavoj Žižek, How to Read Lacan, London 2006., str. 72.-73., preveo: ja
4. Slavoj Žižek, O vjerovanju, Zagreb 2007., str. 62., prevela: Marina Miladinov, izvornik: Slavoj Žižek, On belief (2001.)
5. Martin Heidegger, Pojam vremena, u Kraj filozofije i zadaća mišljenja, Zagreb 1996., str. 44.-45., preveo: Josip Brkić, izvornik: predavanje iz 1924.

Gödelov dokaz

(Čast mi je, i osobito zadovoljstvo, što se Luka Mikec odazvao pozivu da gostuje na Uvodu u filosofiju ogledom o Gödelovom dokazu, a koji, što je ne samo najavljeno nego i traženo od brojnog čitateljstva , okončava mali niz o ”rascjepima” u najegzaktnijima od znanosti.)

Bilo koja dovoljno snažna aritmetika "jede" samu sebe

Od (gotovo drevnog) pojavka ideje aksiomatskih („formalnih“) sustava – sustava dokazivanja koji kreću od jednostavnih i očitih tvrdnji te unaprijed definiranim pravilima izvode složenije tvrdnje – postojala je prešutna pretpostavka među matematičarima koja glasi „dokazivo je sinonim za istinito“. Ako možemo unutar nekog opće-prihvaćenog sustava dokazati primjerice Pitagorin poučak (a možemo), onda je on istinit. Taj poučak je istinit, čini se, upravo stoga što je dokaziv. Pitanje je – vrijedi li doista identitet istinitosti i dokazivosti?

Osim matematičke važnosti tog problema, odgovor na to pitanje tijesno je vezan uz naše (filozofijsko) poimanje matematike. Primjerice, ako je ono što zovemo matematičkim istinama odraz platoničke matematičke realnosti (Kurt Gödel, koji je prvi razjasnio neke dvojbe oko spomenutog identiteta,  je inače i sam bio zagriženi platonist) koja sadrži vrlo veliku ili beskonačnu količinu međusobno neovisnih istina, tj. istina koje su međusobno nepovezane bilo kakvom logikom koja bi omogućavala dokazivanje s jedne istine na drugu, onda identitet ne mora vrijediti (osim možda na „kratke staze“). No, mnogi matematiku promatraju upravo kao sinonim za neku vrstu znakovne slagalice, gdje su osnovni znakovi matematičke formule, te se slaganjem (koje je analogija dokazivanju) dolazi do novih istina. Aksiomatizirana matematika prema tom slagalačkom poimanju nije samo lijepa i uredna, već je to i prava matematika. Pokazat će se da je slagalačka slika naravi matematike pogrešna ili barem vjerojatno pogrešna.

Ako identitet dokazivog i istinitog vrijedi, kaže se da je sustav potpun. U potpunom sustavu vrijedi da se sve što se (unutar njega) uopće može izraziti, u tom istom sustavu mora moći dokazati ili kao istinito ili kao neistinito. Još se kaže: svaki je iskaz u sustavu odluč(lj)iv.

Najobuhvatniji dosad postavljeni  formalni sustavi [aritmetike] jesu sustav u Principia Mathematica, s jedne strane, i Zermelo-Fraenkelov sustav aksioma za teoriju skupova … Oba ta sustava su takva da su u njima formalizirane sve metode dokazivanja koje se danas upotrebljavaju u matematici, tj. one su tamo svedene na svega nekoliko aksioma i pravila zaključivanja. Stoga se može naslućivati da su ti aksiomi i pravila zaključivanja i dovoljni  za to da bi se sva matematička pitanja koja se uopće daju formalno izraziti u dotičnim sustavima bila također i odlučiva. U onom što slijedi pokazat ću da to nije slučaj. [Gödel, str. 89.]

Osim što je šokirao javnost (barem onu logičko-filozofsku) zaključcima koji su uslijedili, Gödelov dokaz osobit je po svojoj formi odnosno metodi kojom se služio.

Jedna od ključnih ideja iza Gödelova dokaza je razlikovanje matematike i metamatematike. Općenito, tvrdnja o (ne)identitetu dokazivosti i istinitosti metamatematičke je prirode. Ona ne govori (barem ne neposredno) o odnosima između brojeva ili drugih matematičkih objekata. Ona govori nešto o odnosima između samih matematičkih odnosa; ili jednostavnije, o matematici.

… Moramo primijetiti da takvi izrazi sa značenjem o matematičkom sustavu bez značenja (odnosno formaliziranom) očito ne pripadaju tome sustavu. Oni pripadaju onome što je Hilbert nazvao „metamatematikom“. (…)

 Razmotrimo izraz

                2 + 3 = 5

Taj izraz pripada matematici (aritmetici) i u potpunosti je izgrađen iz elementarnih aritmetičkih znakova. S druge strane, iskaz

                ’2 + 3 = 5′ je aritmetička formula.

tvrdi nešto o prikazanom izrazu. Taj iskaz ne izražava neku aritmetičku činjenicu i ne pripada formaliziranom jeziku aritmetike. (…)

Napokon, sljedeći iskaz također pripada metamatematici:

                Aritmetika je konzistentna.

[Nagel, str. 24.]

Gödel je metamatematiku zrcalio u matematici. Naime, pronašao je način da svaku metamatematičku tvrdnju prikaže kao neku matematičku tvrdnju, dakle kao neki odnos između brojeva, gdje su brojevi igrali ulogu matematičkih tvrdnji, a odnosi između brojeva odnose između matematičkih tvrdnji (ili, odnose između odnosa između brojeva).

Gödel je je najprije pokazao da je svakom elementarnom znaku, svakoj formuli (nizu znakova) i svakom dokazu (konačnom nizu formula) moguće pridružiti jedinstveni broj. Taj broj, koji služi kao razlikovna oznaka, naziva se „Gödelov broj“ znaka, formule ili dokaza. [Nagel, str. 54.]

Postupak pridruživanja Gödelovih brojeva formula često se naziva „aritmetizacijom“ aritmetike. Korisno je, zbog bolje predodžbe o sadržaju Gödelova dokaza, dati jedan primjer takvog pridruživanja (inače je više mogućih pridruživanja). Prije toga, što se sve podrazumijeva kao elementarni znak:

1. Bilo koji skup znakova koji je (uz dodatak odgovarajućih znakova za varijable) sposoban izraziti bilo koju aritmetičku istinu – npr. „4 je veći od 3“ i „ne postoji najveći prost broj“. Jedan takav moguć skup osnovnih znakova je {0, s, ¬, ∨, ∀, (, )} (znakovi varijable će biti naknadno dodani). Brojevi se kodiraju kombinacijom znakova „s“ i „0“: „0“ za 0, „s0“ za 1, „ss0“ za 2 itd.
   Sljedeća 3 znaka u danom skupu znakova su logički operatori koji govore o istinitosti jedne tvrdnje, ili odnosu istinitosti više tvrdnji (npr. „¬X“ je u značenju „X je neistinito“).
   Zagrade imaju uobičajenu ulogu određivanja slijeda operacija.
2. Uz te znakove, koriste se još i znakovi za varijable. x₁, y₁, z₁… za varijable prvog tipa (varijable koje se javljaju u uobičajenim aritmetičkim jednadžbama i predstavljaju brojeve). Zatim x₂, y₂, z₂… za varijable drugog tipa (tj. „rečenične“ varijable, npr. x₂ može stajati za cijelu formulu „s0 + s0 = ss0“). Na isti način se mogu imenovati i varijable viših tipova (koje će sadržavati odnose između odnosa između brojeva itd.)
3. Neki drugi često korišteni znakovi (=, +, * itd.) se mogu, a i ne moraju, ubaciti u taj skup, jer su svi ionako izvodljivi iz skupa koji je već dan. Znak jednakosti koji se koristi za odnos jednakosti između brojeva se može definirati na ovaj način: (x₁ = y₁) =_def ∀x₂(¬(¬x₂ (x₁) ∨ ¬x₂ (y₁)) ∨ ¬(x₂ (y₁) ∨ x₂ (x₁)))). Ova nečitljiva formula ustvari kaže: ako svako brojevno svojstvo koje vrijedi o x₁ također vrijedi i o y₁, i obratno, onda su x₁ i y₁ jedno te isto.

Gödel je, dakle, svim tim znakovima pridružio određen broj („Gödelov broj“). Prvom dijelu elementarnih znakova su redom pridruženi brojevi 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Drugom dijelu (varijablama) su pridruženi brojevi pⁿ, gdje je p prost broj veći od 13, a n tip varijable (n = 1 za brojeve, n = 2 za formule itd.). Vrlo je lako za svaki takav (Gödelov) broj otkriti koju varijablu predstavlja. Npr. 225 = 15². Radi se dakle o varijabli (jer se 225 može zapisati u obliku potencije kojoj je baza prost broj) drugog tipa (jer je eksponent broj 2); možemo ju zapisati kao y₂. Iako je abeceda u stvarnosti ograničena, pretpostavlja se da je beskonačna, tako da primjerice i prost broj 6461333093 predstavlja neku varijablu prvog tipa, iako ne postoji njen abecedni prijevod.

Time je moguće „aritmetizirati“ svaku aritmetičku formulu – pretvoriti ju u skup brojeva. Štoviše, moguće je i taj skup vrlo lako predstaviti kao jedan broj:

[u ovom primjeru u osnovne znakove je ubačen i znak jednakosti te mu je pridružen G. broj 5, a znaku '0' je pridružen G. broj 6]

Aritmetička formula ‘nula je jednako nula’ ima Gödelov broj 243 milijuna. Čitamo li je prema dolje od A do E, ilustracija pokazuje kako se broj prevodi u izraz koji predstavlja. Čitamo li je prema gore, ona pokazuje kako se izvodi Gödelov broj za formulu.

A                      243 000 000

B                      64 * 243 * 15 625

C                      2⁶ * 3⁵ * 5⁶

D                      6      5      6

                         ↓      ↓      ↓

                        0      =     0

E                             0 = 0

[Nagel, str. 58.]

Na potpuno jednak način moguće je kodirati nizove formula – npr. matematičke dokaze (svaki dokaz je ustvari niz formula).

Gödel je izgradio iskaz G (nazovimo ga tako), koji, metamatematički čitan, govori o sebi da je nedokažljiv i koji je u sustavu P neodlučljiv … Neodlučljiv je, pokazuje Gödel, i aritmetički stavak, nazovimo ga C, koji, metamatematički razumljen, kaže da je aritmetički sustav u kojem je C izgrađen (sustav P), suvisao. Nadalje, kako je G istinit, pokazuje se da je pojam aritmetičke istine nesvedljiv na pojam aritmetičke dokažljivosti.

Tamo gdje se očekivala najveća moguća egzaktnost (u aritmetici i matematičkoj logici), neočekivano se, i to na najprecizniji način, otvorio rascjep, kako u samome sustavu, tako i između istine i sustava. [Kovač, str. 33.]

Ono što Kovač naziva iskazima G i C ustvari su ključne formule u dokazu. Važnost iskaza C tehničkije je naravi, zanimljiv matematičarima više no filozofima. Taj dio Gödelovog dokaza ustvari je pokušaj rješavanja tzv. Hilbertovog drugog problema. Problem se sastojao u pronalaženju dokaza da je aritmetika konzistentna. Gödel je pokazao da je aritmetika ili protuslovna samoj sebi, ili dokaz konzistentnosti aritmetike ne postoji. To je isto što i reći: ako je aritmetika konzistentna, dokaz same te činjenice ne postoji. No, valja napomenuti da je Gödel dokazao „samo“ nepostojanje dokaza konzistentnosti aritmetike unutar izražajne moći aritmetike (njegov dokaz temelji se na zrcaljenju metamatematike u matematici, točnije u aritmetici). Time nije isključeno da postoji uvjerljiv dokaz (po Hilbertovim kriterijima pri postavljanju problema: u kojemu se ne koriste metode koje na ovaj ili onaj način barataju beskonačnim skupovima objekata) koji je iz nekog razloga nemoguće predstaviti jezikom aritmetike. Ipak: teško je zamisliti takav ne-aritmetički finitistički dokaz (teško je zamisliti već i kako bi bilo kakav dokaz takve vrste – „finitistički“ a ujedno nepredstavljiv u jeziku aritmetike – uopće trebao izgledati), i svaki dosadašnji pokušaj za stvaranjem takvog dokaza je propao. Stoga bi se za taj (2. po redu) Gödelov zaključak moglo reći da dokazuje kako vjerojatno ne postoji dokaz konzistentnosti aritmetike.

Iskaz G je donekle zanimljiviji (zbog svoje strukture i pomalo paradoksalne naravi) pa se obično samo o njemu i govori kad se govori o Gödelovom dokazu. Što dakle kaže iskaz G? Zanimljivo je da G sam po sebi i nije osobito koristan. G metamatematički kaže otprilike „Neizvodiv sam“ (što zvuči vrlo intrigantno, ali je nažalost nedovoljno opširno), dok je u matematičkom pogledu to posve nečitljiv zbir matematičko/logičkog znakovlja (kad bi se krenula ispisivati u svom „izvornom“ čisto-matematičkom obliku koji sadrži samo elementarne znakove, zauzela bi značajno veći prostor od onog što ga nude sve bilježnice na svijetu zajedno). G je stoga najzanimljivje promatrati u miješanom matematičko-metamatematičkom obliku. Gödel je na samom početku svog članka dao skicu dokaza u kojoj se javlja takav oblik (u nastavku taj dio nije izravno prepisan jer se u toj skici javljaju neki tehnički pojmovi koje se može izbjeći).

Posebnu vrstu aritmetičkih tvrdnji čine tvrdnje koje u sebi sadrže točno jednu slobodnu brojevnu nepoznanicu (sve brojevne nepoznanice za koje ima smisla uvrstiti neku vrijednost), i u kojima je ta nepoznanica prvog tipa (tj. obična varijabla koja mijenja broj). Primjer takve formule je „x = 5“, također i „x * x = x“ (i bilo koja druga jednadžba s jednom nepoznanicom, ali i ne samo one). Ovisno o vrijednosti nepoznanice, te formule mogu biti istinite ili neistinite. Npr. za x = 5, formula „x = 5“ će očito biti istinita, dok „x * x = x“ neće. Bez uvrštavanja, te formule su „otvorene“ i kako nemaju istinitosnu vrijednost, ne smatraju se iskazima.

Zamislimo sad da sve moguće formule s točno jednom slobodnom brojevnom nepoznanicom poredamo po nekom kriteriju. Npr. po broju osnovnih znakova koji koriste, a za one koje imaju jednak broj osnovnih znakova, po dogovorenoj abecedi. Na 1. mjestu bi se mogla naći primjerice formula „0 = x“. Oznakom R(n) označimo n-tu formulu u tom poretku. Označimo zatim sa [R(n), c] formulu koju dobijemo kad u formuli R(n) nepoznanicu zamijenimo s brojem c. Primjerice, ako je R(1) kao u gornjem primjeru formula „0 = x“, onda će [R(1), 5] dati formulu „0 = 5“. Ta formula je „zatvorena“ jer se u njoj ne javljaju slobodne nepoznanice, stoga je ona ili istinita ili neistinita.

Odredimo potom jedan podskup (moguće je da se radi o nepravom podskupu) prirodnih brojeva K tako što ćemo odrediti uvjet pod kojim je prirodan broj n unutar K:

n je unutar K ako i samo ako formula [R(n), n] nije dokaziva.

Nazovimo ovu rečenicu A. Zasad je ključno napomenuti da je svaki pojam i svojstvo spomenuto u A („biti unutar“, „ako i samo ako“, „formula“, „R(n)“, „[R(n), n]“, „nije dokaziva“ …) takvo da ga je moguće predstaviti pomoću neke kombinacije logičkih veznika, brojeva i brojevnih odnosa. Npr. „x je formula“ je vrlo duga formula koja provjerava ima li x (pritom je x izražen u obliku kodirane formule, tj. x je neki Gödelov broj) neko svojstvo koje samo formule mogu imati. Početak takve provjere bi mogao biti primjerice je li x prost broj ili ne; naime nijedna formula nije izraziva pomoću samo jednog prostog broja (što je očito iz načina na koji je aritmetika aritmetizirana), pa ako je x prost broj, onda x sigurno nije neka formula. Iako je teško umno obujmiti A u ovom „polovičnom“ matematičko-metamatematičkom obliku, on ipak najbolje izražava njenu srž (puno jasnije nego čisto-matematički oblik, ili čisto metamatematički (ako takav uopće postoji)). Srećom, u praksi nije previše teško baratati s njom, primjerice: Je li 1 unutar K? Ako u rečenici A svaku pojavu nepoznanice (n) zamijenimo s 1 i dobivena rečenica A’ tada bude istinita, 1 je unutar K.

1 je unutar K ako i samo ako formula [R(1), 1] nije dokaziva.

=

1 je unutar K ako i samo ako formula „0 = 1“ nije dokaziva.

Pod pretpostavkom da je aritmetika konzistentna, „0 = 1“ svakako nije dokaziva i stoga je broj ’1′ doista unutar K (to naravno vrijedi samo pod pretpostavkom da je aritmetika doista konzistentna; ako aritmetika nije konzistentna, ne samo da ’1′ nije unutar K, već je K prazan skup!). Nije doista bitno je li ’1′ unutar K ili ne (to ionako ovisi o principu po kojem su formule poredane), bitno je „samo“ imati na umu da A ima neki, barem maglovit, smisao.

Primijetimo potom kako je i sam A jedna formula. Možda je korisno primijetiti da A u tom obliku nema slobodnih nepoznanica, tj. iako sadrži nepoznanicu  n, ta nepoznanica je „vezana“ u formuli, i možemo pretpostaviti da je A istinita (to i radimo jer je ona ustvari definicija, doslovno odlučujemo da bude istinita). Zanima nas posebno jedan dio formule A, nazovimo ga U:

formula [R(n), n] nije dokaziva

Primijetimo još i da je U također formula, i to formula s točno jednom slobodnom brojevnom nepoznanicom (!). Zbog te osobitosti, nužno je da se U nalazi negdje u našem prethodno dogovorenom poretku formula s jednom slobodnom brojevnom nepoznanicom, na nekom točno određenom mjestu. Označimo to mjesto s brojevnom konstantom q (nije bitno čemu je konkretno jednak q (npr. je li on = 1000), dovoljno je znati da on nužno postoji). Dakle, vrijedi U = R(q).

Konačno, rečenica G glasi:

[R(q), q]

Pretpostavimo prvo da vrijedi identitet istinitosti i dokazivosti.  Pitamo se je li G dokaziv. Pretpostavimo da jest. Pogledajmo što sve vrijedi pod tom pretpostavkom (za početak, uvrštavanjem q u A):

 q je unutar K ako i samo ako formula [R(q), q] nije dokaziva.

Ako je [R(q), q] dokaziva formula (a jest, jer je to netom pretpostavljeno), onda q nije unutar K (uvjet da formula bude unutar K je nedokazivost formule).

 No, pogledajmo što G tvrdi na sadržajnoj razini. Ako je G dokaziv, G je po identitetu i istinit. Evo što se događa kad u R(q), odnosno u U, ubacimo q.

formula [R(q), q] nije dokaziva

Podebljani dio nije ništa drugo doli sam G! Tj. dobili smo sljedeći rezultat:

formula G nije dokaziva

Ako je to istina, onda je q sigurno unutar K, jer je dani iskaz ništa drugo doli ispunjen uvjet za biti unutar K. No to je u proturječju s prvim izvedenim zaključkom po kojem je q izvan K! Drugim riječima, ako prihvatimo da je G dokaziva, slijedi da je q izvan K, a također i da je q unutar K. Stoga zaključujemo da je neka od pretpostavki kriva: ili ne vrijedi identitet istinitosti i dokazivosti ili G nije istinita.

Pretpostavimo sada opet da vrijedi identitet istinitosti i dokazivosti, ali ovaj put da G nije istinita (što je zbog identiteta isto što i pretpostaviti da je G nedokaziva). Tada je q, kao i svi redni brojevi nedokazivih formula, unutar K. No, ako je q unutar K, onda je G istinita (!), jer G upravo izražava da je q unutar K. Dakle, ako je G neistinita, G je istinita. To je nemoguće, pa zaključujemo da G nije niti istinita (dokaziva) niti neistinita (nedokaziva).

Što se sada sve dogodilo? Evo shematski prikaz („ne-“ ispred formule označava formulu koja tvrdi upravo protuslovnu tvrdnju od početne):

Pretpostavka (0): iskaz A, „n je unutar K ako i samo ako formula [R(n), n] nije dokaziva.“

       Pretpostavka (1): „istinito“ = „dokazivo“

       Posljedica (2): ili formula G ili formula ne-G je dokaziva /zbog (1)

             Pretpostavka (3): G, tj. [R(q), q], je dokaziva formula.

             Posljedica (4): q nije unutar K                               /zbog (0)

             Posljedica (5): G je istinita                                    /zbog (1) i (3)

             Posljedica (6): formula G nije dokaziva                   /zbog (5) i sadržaja od G

             Posljedica (7): q je unutar K                                  /zbog (0) i (6)

             (4) i (7) su u protuslovlju, stoga je (3) neodrživa pod trenutnim pretpostavkama

             Pretpostavka (8):  ne-G, tj. ne-[R(q), q], je dokaziva formula

             Posljedica (9): q je unutar K                                  /zbog (0) i (8)

             Posljedica (10): G je neistinita                               /zbog (1) i (8)

             Posljedica (11): G je dokaziva formula                   /zbog (10) i sadržaja od G

             Posljedica (12): q nije unutar K                             /zbog (0) i (11)

             (9) i (12) su u protuslovlju, stoga je (8) neodrživa pod trenutnim pretpostavkama

       Posljedica (13): niti je G dokaziva, niti je ne-G dokaziva

       (2) i (13) su u protuslovlju, stoga je (1) neodrživa pod trenutnim pretpostavkama.

Stoga: „istinito“ ≠ „dokazivo“.

Upravo predstavljenim dokazom nije se dokazala samo nepotpunost sustava „P“, već bilo koje dovoljno snažne aritmetike uopće. Rečenice A, U i G su, u svom sadržajnom (metamatematičkom) smislu, dovoljne za stvoriti „paradoksalnu“ situaciju na kojoj počiva Gödelov dokaz. Stoga je bilo koji sustav u kojem se može izraziti metamatematički smisao rečenica A, U i G nužno nepotpun.

No, ono što je još zanimljivije od općenitosti metode korištene u dokazu je da se sustavi ne mogu zakrpati. Tj. dodavanjem rečenice G među aksiome (ili dodavanjem rečenice ne-G) sustav će i dalje imati dokazne rupe. Dodavanje zakrpe bilo gdje u sustavu ima neželjenu posljedicu da se negdje drugdje u sustavu otvara nova rupa. Imamo li, primjerice, sustav P, te mu dodamo aksiom G, i time dobijemo novi sustav P’, otvorit će se „rupa“ koju nismo pokrili. Razlog se krije u tome što G ne govori o P’ već o P, tj. o starom sustavu, a ne o onom trenutno zanimljivom. Dakle, iako će u sustavu P’ formula G biti dokaziva, postojat će jedna druga formula, formula koju možemo označiti sa G’, koja će biti nedokaziva – i ona će kompromitirati potpunost sustava P’ (na isti način su nepotpuni i P”, P”’ itd.)

Prema tome je matematika nepotpuna u dva smisla (koji se međusobno ne isključuju), oba puta s mogućim metafizičkim posljedicama:

1. ili se svi matematički očiti aksiomi i njihove posljedice ne mogu obuhvatiti  dobro definiranim sustavom, te naš matematički um nadilazi svaki konačan stroj (u tom se slučaju čini da se rad ljudskoga uma ne može svesti na (mehanički) rad mozga (stajalište koje Gödel nazivlje „vitalizmom“),

2. ili opstoje apsolutno neodlučljivi matematički stavci (u tom slučaju s praktičnom sigurnošću slijedi da su matematički predmeti (skupovi) neovisni o našim umskim činima i odlukama („pojmovni realizam“ ili „platonizam“); inače bismo, kao stvaratelji matematičkih predmeta, nužno poznavali sva svojstva tih predmeta. [Kovač, str. 35.]

Literatura:

• Kurt Godel, O formalno neodlučivim stavcima Principia Mathematica i srodnih sustava I, u Ernest Nagel/James R. Newman, Gödelov dokaz, Zagreb 2001.
• Ernest Nagel/James R. Newman, Gödelov dokaz, Zagreb 2001.
• Srećko Kovač, Logičko-filozofijski ogledi, Zagreb 2005.